(2)の問題は、以下の極限を求める問題です。 $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{1^2 + 3n^2} + \frac{n}{2^2 + 3n^2} + \cdots + \frac{n}{n^2 + 3n^2}\right)$

1. 問題の内容

(2)の問題は、以下の極限を求める問題です。

$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{1^2 + 3n^2} + \frac{n}{2^2 + 3n^2} + \cdots + \frac{n}{n^2 + 3n^2}\right)$

2. 解き方の手順

まず、与えられた極限をシグマ記号を使って表します。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{n}{i^2 + 3n^2}$

次に、積分表示に持ち込むために、$n^2$を分母からくくり出します。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{n}{n^2(\frac{i^2}{n^2} + 3)} = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n} \frac{1}{\frac{i^2}{n^2} + 3}$

ここで、$x_i = \frac{i}{n}$とおくと、$\Delta x = \frac{1}{n}$なので、この極限は以下の定積分で表されます。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 3} dx$

この積分を計算するために、$x = \sqrt{3} \tan{\theta}$とおくと、$dx = \sqrt{3} \sec^2{\theta} d\theta$となります。

また、$x^2 + 3 = 3\tan^2{\theta} + 3 = 3\sec^2{\theta}$となります。

したがって、

$\int \frac{1}{x^2 + 3} dx = \int \frac{1}{3\sec^2{\theta}} \sqrt{3} \sec^2{\theta} d\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \int d\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \theta + C = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan{\frac{x}{\sqrt{3}}} + C$

したがって、

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 3} dx = \frac{1}{\sqrt{3}} \left[ \arctan{\frac{x}{\sqrt{3}}} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \arctan{\frac{1}{\sqrt{3}}} - \arctan{0} \right)$

$\arctan{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\pi}{6}$であり、$\arctan{0} = 0$なので、

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + 3} dx = \frac{1}{\sqrt{3}} \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6\sqrt{3}}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{6\sqrt{3}}$