2つの放物線 $y = x^2 - 4x + 2$ と $y = -x^2 + 2x - 2$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの放物線 $y = x^2 - 4x + 2$ と $y = -x^2 + 2x - 2$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2つの放物線の交点の $x$ 座標を求めます。

2つの式を連立させて、$y$ を消去します。

$x^2 - 4x + 2 = -x^2 + 2x - 2$

$2x^2 - 6x + 4 = 0$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

$(x - 1)(x - 2) = 0$

よって、$x = 1, 2$ が交点の $x$ 座標です。

次に、区間 $[1, 2]$ でどちらの関数が大きいかを調べます。

$x = 1.5$ のとき、

$y_1 = (1.5)^2 - 4(1.5) + 2 = 2.25 - 6 + 2 = -1.75$

$y_2 = -(1.5)^2 + 2(1.5) - 2 = -2.25 + 3 - 2 = -1.25$

したがって、区間 $[1, 2]$ で $y_2 \geq y_1$ です。

面積 $S$ は、以下のように計算できます。

$S = \int_{1}^{2} ((-x^2 + 2x - 2) - (x^2 - 4x + 2)) dx$

$S = \int_{1}^{2} (-2x^2 + 6x - 4) dx$

$S = \left[-\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 - 4x\right]_{1}^{2}$

$S = \left(-\frac{2}{3}(2)^3 + 3(2)^2 - 4(2)\right) - \left(-\frac{2}{3}(1)^3 + 3(1)^2 - 4(1)\right)$

$S = \left(-\frac{16}{3} + 12 - 8\right) - \left(-\frac{2}{3} + 3 - 4\right)$

$S = \left(-\frac{16}{3} + 4\right) - \left(-\frac{2}{3} - 1\right)$

$S = -\frac{16}{3} + 4 + \frac{2}{3} + 1$

$S = -\frac{14}{3} + 5$

$S = -\frac{14}{3} + \frac{15}{3}$

$S = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{1}{3}$