次の和 $S_n$ を求めよ。 $S_n = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$

1. 問題の内容

次の和 $S_n$ を求めよ。

$S_n = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$

2. 解き方の手順

この和は、部分分数分解を利用して解くことができます。各項を次のように分解します。

$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{A}{2k-1} + \frac{B}{2k+1}$

両辺に $(2k-1)(2k+1)$ を掛けると

$1 = A(2k+1) + B(2k-1)$

$k = \frac{1}{2}$ を代入すると

$1 = A(2 \cdot \frac{1}{2} + 1) + B(0) = 2A$

よって、$A = \frac{1}{2}$

$k = -\frac{1}{2}$ を代入すると

$1 = A(0) + B(2 \cdot (-\frac{1}{2}) - 1) = -2B$

よって、$B = -\frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1})$

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} (\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1})$

$S_n = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1})$

$S_n = \frac{1}{2} [(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + \cdots + (\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1})]$

$S_n = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2n+1})$

$S_n = \frac{1}{2} (\frac{2n+1 - 1}{2n+1})$

$S_n = \frac{1}{2} (\frac{2n}{2n+1})$

$S_n = \frac{n}{2n+1}$

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{n}{2n+1}$