与えられた極限 $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1^2 + n^2} + \frac{2}{2^2 + n^2} + \dots + \frac{n}{n^2 + n^2} \right)$ の値を求める問題です。これは、 $\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{i}{i^2 + n^2}$ と書き換えられます。

1. 問題の内容

与えられた極限

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1^2 + n^2} + \frac{2}{2^2 + n^2} + \dots + \frac{n}{n^2 + n^2} \right)$

の値を求める問題です。これは、

$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{i}{i^2 + n^2}$

と書き換えられます。

2. 解き方の手順

まず、総和の中の式を変形します。

$\frac{i}{i^2 + n^2} = \frac{i}{n^2( (i/n)^2 + 1 )} = \frac{1}{n} \cdot \frac{i/n}{(i/n)^2 + 1}$

したがって、与えられた極限は

$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{i}{i^2 + n^2} = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{i/n}{(i/n)^2 + 1}$

となります。

ここで、$x_i = i/n$ とおくと、これはリーマン和の形になっています。したがって、この極限は積分で表現できます。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{i/n}{(i/n)^2 + 1} = \int_0^1 \frac{x}{x^2 + 1} dx$

この積分を計算します。$u = x^2 + 1$ とおくと、$du = 2x dx$ となり、$x dx = \frac{1}{2} du$ です。

$x = 0$ のとき $u = 1$, $x = 1$ のとき $u = 2$ です。

したがって、

$\int_0^1 \frac{x}{x^2 + 1} dx = \int_1^2 \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_1^2 \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} [\ln u]_1^2 = \frac{1}{2} (\ln 2 - \ln 1) = \frac{1}{2} \ln 2$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln 2$