与えられた積分 $\int (x-1)e^{-x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int (x-1)e^{-x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を使って解きます。部分積分の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ です。

$u = x-1$ と $dv = e^{-x} dx$ とおきます。

すると、 $du = dx$ と $v = -e^{-x}$ となります。

部分積分の公式に代入すると、

$\int (x-1)e^{-x} dx = (x-1)(-e^{-x}) - \int (-e^{-x}) dx$

$= -(x-1)e^{-x} + \int e^{-x} dx$

$= -(x-1)e^{-x} - e^{-x} + C$

$= -xe^{-x} + e^{-x} - e^{-x} + C$

$= -xe^{-x} + C$

3. 最終的な答え

$\int (x-1)e^{-x} dx = -xe^{-x} + C$