与えられた関数 $y = x^2 + 2$ について、$x = -4$ から $x = 2$ までの定積分を求めよ。つまり、曲線 $y = x^2 + 2$ とx軸、$x = -4$、$x = 2$ で囲まれた領域の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = x^2 + 2$ について、$x = -4$ から $x = 2$ までの定積分を求めよ。つまり、曲線 $y = x^2 + 2$ とx軸、$x = -4$、$x = 2$ で囲まれた領域の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

定積分を計算するには、まず関数 $x^2 + 2$ の不定積分を求めます。

$\int (x^2 + 2) dx = \frac{x^3}{3} + 2x + C$

ここで、$C$ は積分定数です。次に、定積分の値を求めるために、積分区間の上限と下限における不定積分の値を計算し、その差を求めます。

積分区間は $x=-4$ から $x=2$ なので、

$\int_{-4}^{2} (x^2 + 2) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x \right]_{-4}^{2}$

$= \left( \frac{2^3}{3} + 2(2) \right) - \left( \frac{(-4)^3}{3} + 2(-4) \right)$

$= \left( \frac{8}{3} + 4 \right) - \left( \frac{-64}{3} - 8 \right)$

$= \frac{8}{3} + 4 + \frac{64}{3} + 8$

$= \frac{8+64}{3} + 12$

$= \frac{72}{3} + 12$

$= 24 + 12$

$= 36$

3. 最終的な答え

36