SENSEI AI
About App

放物線 $y = -x^2 + 4x$ と x軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

解析学積分面積放物線
2025/6/26

1. 問題の内容

放物線 y=−x2+4xy = -x^2 + 4x と x軸で囲まれた部分の面積 SS を求める。

2. 解き方の手順

まず、放物線とx軸との交点を求める。これは、y=−x2+4x=0y = -x^2 + 4x = 0 を解くことで得られる。
−x2+4x=0-x^2 + 4x = 0
x(−x+4)=0x(-x + 4) = 0
よって、x=0,4x = 0, 4 である。
次に、放物線とx軸で囲まれた部分の面積を定積分によって求める。放物線は0≤x≤40 \le x \le 4 で y≥0y \ge 0 なので、面積 SS は次の積分で与えられる。
S=∫04(−x2+4x)dxS = \int_0^4 (-x^2 + 4x) dx
積分を計算する。
∫(−x2+4x)dx=−x33+2x2+C\int (-x^2 + 4x) dx = -\frac{x^3}{3} + 2x^2 + C
したがって、
S=[−x33+2x2]04=(−433+2(42))−(−033+2(02))S = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 \right]_0^4 = \left( -\frac{4^3}{3} + 2(4^2) \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + 2(0^2) \right)
=−643+32=−643+963=323= -\frac{64}{3} + 32 = -\frac{64}{3} + \frac{96}{3} = \frac{32}{3}

3. 最終的な答え

S=323S = \frac{32}{3}

「解析学」の関連問題

与えられた関数 $f(x,y)$ について、2階の偏導関数 $f_{xx}$, $f_{yy}$, $f_{xy}$, $f_{yx}$ をすべて求める。

偏微分2階偏導関数多変数関数
2025/6/27

## 1. 問題の内容

偏微分偏導関数多変数関数偏微分係数
2025/6/27

ある物体の温度$T$と、周囲の温度$T_0$の関係が、微分方程式 $\frac{dT}{dt} = -k(T-T_0)$ で与えられている。$k$は定数。 $100^\circ C$ で沸騰したお湯を...

微分方程式指数関数積分熱伝導
2025/6/27

問題は、不定積分 $\int xe^x dx$ を計算し、その結果を $C$ (積分定数) を用いて表すことです。

積分不定積分部分積分指数関数
2025/6/27

a) $f(x, y) = x^2 y^3$ b) $f(x, y) = x^2 + y^2$ c) $f(x, y) = e^{x^2 + y^2}$ d) $f(x, y)...

偏微分偏導関数
2025/6/27

曲線 $y = x\sqrt{x}$ ($0 \le x \le 5$) の長さ $L$ を求める問題です。

曲線の長さ積分微分定積分
2025/6/27

与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} = xy + x + y + 1$ を初期条件 $y(0) = 1$ のもとで解きます。

微分方程式初期条件変数分離形
2025/6/27

与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} = xy + x + y + 1$ を初期条件 $y(0) = 1$ の下で解く。

微分方程式変数分離形初期条件積分
2025/6/27

次の定積分を求めます。 $\int_{0}^{1} x \sqrt{1 - x^2} \, dx$

定積分置換積分積分計算微積分
2025/6/27

次の2つの関数のグラフを書き、それぞれの周期を求める問題です。 (1) $y = \sin x \cos x$ (2) $y = \cos^2 x$

三角関数グラフ周期2倍角の公式
2025/6/27