曲線 $y = x^2 + x - 6$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2 + x - 6$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^2 + x - 6$ と $x$ 軸との交点を求める。

$y=0$ とおくと、

$x^2 + x - 6 = 0$

$(x + 3)(x - 2) = 0$

よって、$x = -3, 2$ 。

したがって、求める面積は、積分区間 $-3 \le x \le 2$ において、関数 $y = x^2 + x - 6$ の定積分を計算し、その絶対値を取ることで得られる。$x^2 + x - 6$ は積分区間 $-3 \le x \le 2$ において負の値をとるので、面積 $S$ は、

$S = - \int_{-3}^{2} (x^2 + x - 6) dx$

定積分を計算する。

$\int (x^2 + x - 6) dx = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 6x + C$

$S = - \left[ \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 6x \right]_{-3}^{2}$

$S = - \left[ \left( \frac{1}{3}(2)^3 + \frac{1}{2}(2)^2 - 6(2) \right) - \left( \frac{1}{3}(-3)^3 + \frac{1}{2}(-3)^2 - 6(-3) \right) \right]$

$S = - \left[ \left( \frac{8}{3} + 2 - 12 \right) - \left( -9 + \frac{9}{2} + 18 \right) \right]$

$S = - \left[ \left( \frac{8}{3} - 10 \right) - \left( 9 + \frac{9}{2} \right) \right]$

$S = - \left[ \frac{8 - 30}{3} - \frac{18 + 9}{2} \right]$

$S = - \left[ \frac{-22}{3} - \frac{27}{2} \right]$

$S = - \left[ \frac{-44 - 81}{6} \right]$

$S = - \left[ \frac{-125}{6} \right]$

$S = \frac{125}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{125}{6}$