曲線 $C: y = x^3 - 3x$ が与えられている。 (1) 曲線C上の点 $P(t, t^3 - 3t)$ における接線の方程式を求める。 (2) 点 $A(1, -3)$ から曲線Cに引いた接線の方程式をすべて求める。 (3) (2) で求めた接線のうち、傾きが最も大きいものを $l$ とする。曲線Cと直線 $l$ および直線 $x=1$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = x^3 - 3x$ が与えられている。

(1) 曲線C上の点 $P(t, t^3 - 3t)$ における接線の方程式を求める。

(2) 点 $A(1, -3)$ から曲線Cに引いた接線の方程式をすべて求める。

(3) (2) で求めた接線のうち、傾きが最も大きいものを $l$ とする。曲線Cと直線 $l$ および直線 $x=1$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$y = x^3 - 3x$ を $x$ で微分すると、

$y' = 3x^2 - 3$

点Pにおける接線の傾きは、$3t^2 - 3$ である。

点Pにおける接線の方程式は、

$y - (t^3 - 3t) = (3t^2 - 3)(x - t)$

$y = (3t^2 - 3)x - 3t^3 + 3t + t^3 - 3t$

$y = (3t^2 - 3)x - 2t^3$

(2)

接点を $(t, t^3 - 3t)$ とすると、接線の方程式は(1)より、

$y = (3t^2 - 3)x - 2t^3$

この接線が点 $A(1, -3)$ を通るので、

$-3 = (3t^2 - 3)(1) - 2t^3$

$-3 = 3t^2 - 3 - 2t^3$

$2t^3 - 3t^2 = 0$

$t^2(2t - 3) = 0$

$t = 0, \frac{3}{2}$

$t = 0$ のとき、接線の方程式は、$y = -3x$

$t = \frac{3}{2}$ のとき、

$3t^2 - 3 = 3(\frac{9}{4}) - 3 = \frac{27}{4} - \frac{12}{4} = \frac{15}{4}$

$-2t^3 = -2(\frac{27}{8}) = -\frac{27}{4}$

接線の方程式は、$y = \frac{15}{4}x - \frac{27}{4}$

(3)

(2)で求めた接線の傾きはそれぞれ $-3$ と $\frac{15}{4}$ である。

よって、傾きが最も大きいのは $y = \frac{15}{4}x - \frac{27}{4}$ である。

直線 $l$ は、$y = \frac{15}{4}x - \frac{27}{4}$ である。

$y = x^3 - 3x$ と $y = \frac{15}{4}x - \frac{27}{4}$ の交点を求める。

$x^3 - 3x = \frac{15}{4}x - \frac{27}{4}$

$4x^3 - 12x = 15x - 27$

$4x^3 - 27x + 27 = 0$

$(x - \frac{3}{2})^2 (4x + 12) = 0$

$(x - \frac{3}{2})^2 (x + 3) = 0$

$x = \frac{3}{2}, -3$

積分範囲は $-3 \le x \le \frac{3}{2}$ および $\frac{3}{2} \le x \le 1$。

$S = \int_{-3}^{3/2} ((x^3 - 3x) - (\frac{15}{4}x - \frac{27}{4})) dx + \int_{3/2}^{1} ((\frac{15}{4}x - \frac{27}{4}) - (x^3 - 3x)) dx$

$S = \int_{-3}^{3/2} (x^3 - \frac{27}{4}x + \frac{27}{4}) dx + \int_{3/2}^{1} (-x^3 + \frac{27}{4}x - \frac{27}{4}) dx$

$S = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{27}{8}x^2 + \frac{27}{4}x]_{-3}^{3/2} + [-\frac{1}{4}x^4 + \frac{27}{8}x^2 - \frac{27}{4}x]_{3/2}^{1}$

$S = (\frac{1}{4}(\frac{3}{2})^4 - \frac{27}{8}(\frac{3}{2})^2 + \frac{27}{4}(\frac{3}{2})) - (\frac{1}{4}(-3)^4 - \frac{27}{8}(-3)^2 + \frac{27}{4}(-3)) + (-\frac{1}{4}(1)^4 + \frac{27}{8}(1)^2 - \frac{27}{4}(1)) - (-\frac{1}{4}(\frac{3}{2})^4 + \frac{27}{8}(\frac{3}{2})^2 - \frac{27}{4}(\frac{3}{2}))$

$S = \frac{1}{4}(\frac{81}{16}) - \frac{27}{8}(\frac{9}{4}) + \frac{81}{8} - (\frac{81}{4} - \frac{243}{8} - \frac{81}{4}) - \frac{1}{4} + \frac{27}{8} - \frac{27}{4} + \frac{1}{4}(\frac{81}{16}) - \frac{27}{8}(\frac{9}{4}) + \frac{81}{8}$

$S = \frac{81}{64} - \frac{243}{32} + \frac{81}{8} - \frac{81}{4} + \frac{243}{8} + \frac{81}{4} - \frac{1}{4} + \frac{27}{8} - \frac{27}{4} + \frac{81}{64} - \frac{243}{32} + \frac{81}{8}$

$S = \frac{81}{32} - \frac{243}{16} + \frac{81}{4} + \frac{135}{4} - \frac{27}{4} - \frac{1}{4}$

$S = \frac{243}{32}$

3. 最終的な答え

(1) $y = (3t^2 - 3)x - 2t^3$

(2) $y = -3x$, $y = \frac{15}{4}x - \frac{27}{4}$

(3) $S = \frac{243}{32}$