放物線 $y = -x^2 - x + 2$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = -x^2 - x + 2$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、放物線と $x$ 軸との交点を求める。これは、$y=0$ となる $x$ の値を求めることと同じである。

$-x^2 - x + 2 = 0$

両辺に $-1$ をかけると、

$x^2 + x - 2 = 0$

因数分解すると、

$(x + 2)(x - 1) = 0$

よって、 $x = -2, 1$ である。

(2) 放物線と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ は、定積分を用いて計算できる。積分範囲は $-2$ から $1$ であり、被積分関数は $y = -x^2 - x + 2$ である。

$S = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) dx$

$= \left[ -\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 2x \right]_{-2}^{1}$

$= \left( -\frac{1}{3}(1)^3 - \frac{1}{2}(1)^2 + 2(1) \right) - \left( -\frac{1}{3}(-2)^3 - \frac{1}{2}(-2)^2 + 2(-2) \right)$

$= \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( \frac{8}{3} - 2 - 4 \right)$

$= -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 - \frac{8}{3} + 6$

$= -\frac{9}{3} - \frac{1}{2} + 8$

$= -3 - \frac{1}{2} + 8$

$= 5 - \frac{1}{2}$

$= \frac{10}{2} - \frac{1}{2}$

$= \frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{9}{2}$