定積分 $\int_{2}^{2} (3x^2 + x - 2) dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{2}^{2} (3x^2 + x - 2) dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $3x^2 + x - 2$ の不定積分を求めます。

$3x^2$ の不定積分は $x^3$ です。

$x$ の不定積分は $\frac{1}{2}x^2$ です。

$-2$ の不定積分は $-2x$ です。

したがって、$3x^2 + x - 2$ の不定積分は

$x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x + C$

となります (ここで $C$ は積分定数)。

次に、定積分の定義に従い、積分の上端と下端の値を不定積分に代入し、その差を計算します。この場合、積分範囲は2から2なので、上端と下端が同じ値です。したがって、

$\int_{2}^{2} (3x^2 + x - 2) dx = \left[ x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x \right]_{2}^{2}$

$= \left( 2^3 + \frac{1}{2}(2^2) - 2(2) \right) - \left( 2^3 + \frac{1}{2}(2^2) - 2(2) \right)$

$= (8 + 2 - 4) - (8 + 2 - 4) = 6 - 6 = 0$

3. 最終的な答え

$\int_{2}^{2} (3x^2 + x - 2) dx = 0$