関数 $f(x) = -x + 2 (-\pi \le x \le \pi)$ をフーリエ級数展開する。ただし、$f(x)$は周期$2\pi$の周期関数とする。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x + 2 (-\pi \le x \le \pi)$ をフーリエ級数展開する。ただし、$f(x)$は周期$2\pi$の周期関数とする。

2. 解き方の手順

フーリエ級数展開は、次の式で与えられます。

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$

ここで、$a_0$, $a_n$, $b_n$はフーリエ係数であり、以下の式で計算されます。

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx$

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx$

まず、$a_0$を計算します。

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (-x + 2) dx = \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{1}{\pi} \left[ (-\frac{\pi^2}{2} + 2\pi) - (-\frac{(-\pi)^2}{2} + 2(-\pi)) \right] = \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{\pi^2}{2} + 2\pi + \frac{\pi^2}{2} + 2\pi \right] = \frac{1}{\pi} (4\pi) = 4$

次に、$a_n$を計算します。

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (-x + 2) \cos(nx) dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (-x \cos(nx) + 2\cos(nx)) dx = \frac{1}{\pi} \left[ \int_{-\pi}^{\pi} -x \cos(nx) dx + \int_{-\pi}^{\pi} 2\cos(nx) dx \right]$

$\int_{-\pi}^{\pi} -x \cos(nx) dx$ は奇関数なので、0になります。

$\int_{-\pi}^{\pi} 2\cos(nx) dx = \frac{2}{n} [\sin(nx)]_{-\pi}^{\pi} = \frac{2}{n} (\sin(n\pi) - \sin(-n\pi)) = \frac{2}{n} (0 - 0) = 0$

よって、$a_n = \frac{1}{\pi} (0 + 0) = 0$

最後に、$b_n$を計算します。

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (-x + 2) \sin(nx) dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (-x \sin(nx) + 2\sin(nx)) dx = \frac{1}{\pi} \left[ \int_{-\pi}^{\pi} -x \sin(nx) dx + \int_{-\pi}^{\pi} 2\sin(nx) dx \right]$

$\int_{-\pi}^{\pi} -x \sin(nx) dx = - \int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx) dx$

$x \sin(nx)$は偶関数なので、$- \int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx) dx = - 2 \int_{0}^{\pi} x \sin(nx) dx$

部分積分を行うと、$-2 \left[ -\frac{x}{n} \cos(nx) + \frac{1}{n^2} \sin(nx) \right]_0^{\pi} = -2 \left[ -\frac{\pi}{n} \cos(n\pi) + 0 - (0 + 0) \right] = \frac{2\pi}{n} \cos(n\pi) = \frac{2\pi}{n} (-1)^n$

$\int_{-\pi}^{\pi} 2\sin(nx) dx = -\frac{2}{n} [\cos(nx)]_{-\pi}^{\pi} = -\frac{2}{n} (\cos(n\pi) - \cos(-n\pi)) = -\frac{2}{n} (\cos(n\pi) - \cos(n\pi)) = 0$

よって、$b_n = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{2\pi}{n} (-1)^n + 0 \right] = \frac{2}{n} (-1)^n$

したがって、フーリエ級数展開は、

$f(x) = \frac{4}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( 0 \cdot \cos(nx) + \frac{2}{n} (-1)^n \sin(nx) \right) = 2 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n} (-1)^n \sin(nx)$

3. 最終的な答え

$f(x) = 2 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n} (-1)^n \sin(nx)$