問題は、2つの定積分の差を計算することです。具体的には、$\int_{-3}^{-1} (2x^2 + 3) dx - \int_{1}^{-1} (2x^2 + 3) dx$を計算します。

1. 問題の内容

問題は、2つの定積分の差を計算することです。具体的には、$\int_{-3}^{-1} (2x^2 + 3) dx - \int_{1}^{-1} (2x^2 + 3) dx$を計算します。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int (2x^2 + 3) dx$ を計算します。

$\int (2x^2 + 3) dx = 2\int x^2 dx + 3\int dx = 2 \cdot \frac{x^3}{3} + 3x + C = \frac{2}{3}x^3 + 3x + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{-3}^{-1} (2x^2 + 3) dx = \left[ \frac{2}{3}x^3 + 3x \right]_{-3}^{-1} = \left(\frac{2}{3}(-1)^3 + 3(-1)\right) - \left(\frac{2}{3}(-3)^3 + 3(-3)\right) = \left(-\frac{2}{3} - 3\right) - \left(\frac{2}{3}(-27) - 9\right) = -\frac{2}{3} - 3 - (-18 - 9) = -\frac{2}{3} - 3 + 27 = 24 - \frac{2}{3} = \frac{72 - 2}{3} = \frac{70}{3}$

$\int_{1}^{-1} (2x^2 + 3) dx = \left[ \frac{2}{3}x^3 + 3x \right]_{1}^{-1} = \left(\frac{2}{3}(-1)^3 + 3(-1)\right) - \left(\frac{2}{3}(1)^3 + 3(1)\right) = \left(-\frac{2}{3} - 3\right) - \left(\frac{2}{3} + 3\right) = -\frac{2}{3} - 3 - \frac{2}{3} - 3 = -\frac{4}{3} - 6 = -\frac{4}{3} - \frac{18}{3} = -\frac{22}{3}$

最後に、これらの差を計算します。

$\int_{-3}^{-1} (2x^2 + 3) dx - \int_{1}^{-1} (2x^2 + 3) dx = \frac{70}{3} - \left(-\frac{22}{3}\right) = \frac{70}{3} + \frac{22}{3} = \frac{92}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{92}{3}$