問題1：曲線 $y = \log x$、直線 $y = -1$、$y = 2e$、および $y$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。 問題2：底面の半径 $a$、高さ $b$ の直円柱を軸を含む平面で切断してできる半円柱がある。底面の半円の直径を $AB$、上面の半円の弧の中点を $C$ とする。3点 $A$, $B$, $C$ を通る平面でこの半円柱を2つに分けるとき、その下側の立体の体積 $V$ を求める。

1. 問題の内容

問題1：曲線 $y = \log x$、直線 $y = -1$、$y = 2e$、および $y$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

問題2：底面の半径 $a$、高さ $b$ の直円柱を軸を含む平面で切断してできる半円柱がある。底面の半円の直径を $AB$、上面の半円の弧の中点を $C$ とする。3点 $A$, $B$, $C$ を通る平面でこの半円柱を2つに分けるとき、その下側の立体の体積 $V$ を求める。

2. 解き方の手順

問題1：

$y = \log x$ より $x = e^y$。

$-1 \le y \le 2e$ で常に $x > 0$ である。

面積 $S$ は $y$ に関する積分で求められる。

$S = \int_{-1}^{2e} e^y dy = [e^y]_{-1}^{2e} = e^{2e} - e^{-1} = e^{2e} - \frac{1}{e}$

(別解)

面積を長方形から不要な部分を引いて求める。長方形の面積は、$e^{2e} (2e+1)$。不要な部分の面積は、$\int_{e^{-1}}^{e^{2e}} (\log x+1) dx = [x\log x - x + x]_{e^{-1}}^{e^{2e}} = [x\log x]_{e^{-1}}^{e^{2e}} = e^{2e}(2e) - e^{-1}(-1) = 2e^{2e+1} + \frac{1}{e}$.

したがって、$S = e^{2e}(2e+1) - (2e^{2e+1} + \frac{1}{e})$. 計算が大変なので最初の解法の方がよい。

問題文中の別解の記述が間違っている可能性が高い。

問題2：

$x$ 軸上の点 $D(x, 0)$ を通り、$x$ 軸に垂直な平面による切り口は直角三角形 $DEF$ である。

$\triangle DEF \sim \triangle OHC$ であり、

$DE:OH = \sqrt{a^2 - x^2} : a$

ゆえに、切り口の面積を $S(x)$ とすると、

$S(x) : \triangle OHC = (\sqrt{a^2 - x^2})^2 : a^2$

$\triangle OHC$ の面積は $\frac{ab}{2}$。

よって $S(x) = \frac{a^2 - x^2}{a^2} \cdot \frac{ab}{2} = \frac{b}{2a} (a^2 - x^2)$.

対称性から、求める立体の体積 $V$ は

$V = 2 \int_0^a S(x) dx = 2 \int_0^a \frac{b}{2a} (a^2 - x^2) dx = \frac{b}{a} \int_0^a (a^2 - x^2) dx = \frac{b}{a} [a^2 x - \frac{x^3}{3}]_0^a = \frac{b}{a} (a^3 - \frac{a^3}{3}) = \frac{b}{a} \cdot \frac{2}{3} a^3 = \frac{2}{3} a^2 b$.

3. 最終的な答え

問題1：$e^{2e} - \frac{1}{e}$

問題2：$\frac{2}{3} a^2 b$