与えられた式 $sin\theta + cos\theta$ を $rcos(\theta - \beta)$ の形に変形せよ。ただし、$r > 0, -\pi < \beta \le \pi$ とする。

1. 問題の内容

与えられた式 $sin\theta + cos\theta$ を $rcos(\theta - \beta)$ の形に変形せよ。ただし、$r > 0, -\pi < \beta \le \pi$ とする。

2. 解き方の手順

まず、$rcos(\theta - \beta)$ を加法定理を使って展開する。

$rcos(\theta - \beta) = r(cos\theta cos\beta + sin\theta sin\beta) = (rcos\beta)cos\theta + (rsin\beta)sin\theta$

与えられた式 $sin\theta + cos\theta$ と比較して、以下の式を得る。

$rcos\beta = 1$

$rsin\beta = 1$

これらの式をそれぞれ2乗して足し合わせると、

$(rcos\beta)^2 + (rsin\beta)^2 = 1^2 + 1^2$

$r^2(cos^2\beta + sin^2\beta) = 2$

三角関数の恒等式 $cos^2\beta + sin^2\beta = 1$ より、

$r^2 = 2$

$r > 0$ より、$r = \sqrt{2}$

次に、$\beta$ を求める。

$rcos\beta = 1$ に $r = \sqrt{2}$ を代入すると、$\sqrt{2}cos\beta = 1$ なので、$cos\beta = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$rsin\beta = 1$ に $r = \sqrt{2}$ を代入すると、$\sqrt{2}sin\beta = 1$ なので、$sin\beta = \frac{1}{\sqrt{2}}$

したがって、$cos\beta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ かつ $sin\beta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす $\beta$ は、$\beta = \frac{\pi}{4}$ となる。

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}cos(\theta - \frac{\pi}{4})$