与えられた2つの関数について、以下の問いに答えます。 1. $f(x, y) = \sqrt{x + 3y}$ に対して、$f_{xx}(x, y)$、$f_{xy}(x, y)$、$f_{yy}(x, y)$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた2つの関数について、以下の問いに答えます。

1. $f(x, y) = \sqrt{x + 3y}$ に対して、$f_{xx}(x, y)$、$f_{xy}(x, y)$、$f_{yy}(x, y)$ を求めます。

2. $f(x, y) = \arctan(x + y)$ に対して、点$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$における接平面の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

1. $f(x, y) = \sqrt{x + 3y} = (x + 3y)^{\frac{1}{2}}$ の偏微分を計算します。

* $f_x(x, y) = \frac{1}{2}(x + 3y)^{-\frac{1}{2}}$

* $f_y(x, y) = \frac{3}{2}(x + 3y)^{-\frac{1}{2}}$

* $f_{xx}(x, y) = -\frac{1}{4}(x + 3y)^{-\frac{3}{2}}$

* $f_{xy}(x, y) = -\frac{3}{4}(x + 3y)^{-\frac{3}{2}}$

* $f_{yy}(x, y) = -\frac{9}{4}(x + 3y)^{-\frac{3}{2}}$

2. $f(x, y) = \arctan(x + y)$ の偏微分を計算し、点$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$における値を求めます。

* $f_x(x, y) = \frac{1}{1 + (x + y)^2}$

* $f_y(x, y) = \frac{1}{1 + (x + y)^2}$

* $f(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$

* $f_x(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{1}{1 + 1^2} = \frac{1}{2}$

* $f_y(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{1}{1 + 1^2} = \frac{1}{2}$

接平面の方程式は以下のように与えられます。

$z = f(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) + f_x(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})(x - \frac{1}{2}) + f_y(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})(y - \frac{1}{2})$

$z = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}(x - \frac{1}{2}) + \frac{1}{2}(y - \frac{1}{2})$

$z = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y - \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

1. $f_{xx}(x, y) = -\frac{1}{4}(x + 3y)^{-\frac{3}{2}}$

$f_{xy}(x, y) = -\frac{3}{4}(x + 3y)^{-\frac{3}{2}}$

$f_{yy}(x, y) = -\frac{9}{4}(x + 3y)^{-\frac{3}{2}}$

2. $z = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\pi$