与えられた積分の問題を解きます。積分は次の通りです。 $\int \frac{e^x}{(e^x+2)^3} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分の問題を解きます。積分は次の通りです。

$\int \frac{e^x}{(e^x+2)^3} dx$

2. 解き方の手順

この積分を解くために、置換積分法を使用します。

$u = e^x + 2$ と置きます。

すると、$du = e^x dx$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{u^3} du = \int u^{-3} du$

次に、べき乗則を使って積分します。

$\int u^{-3} du = \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2u^2} + C$

最後に、$u = e^x + 2$ を代入して、元の変数に戻します。

$-\frac{1}{2(e^x+2)^2} + C$

3. 最終的な答え

最終的な答えは、

$-\frac{1}{2(e^x+2)^2} + C$

です。