$\sin\theta + \cos\theta$ を $r\cos(\theta - \beta)$ の形に変形する問題です。ただし、$r > 0$ かつ $-\pi < \beta \leq \pi$とします。

1. 問題の内容

$\sin\theta + \cos\theta$ を $r\cos(\theta - \beta)$ の形に変形する問題です。ただし、$r > 0$ かつ $-\pi < \beta \leq \pi$とします。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の合成の公式を適用します。

$a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(\theta + \alpha)$

ここで、$\cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$、$\sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ となります。

今回の問題では、$a = 1$、$b = 1$ なので、

$r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$、$\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$

したがって、$\alpha = \frac{\pi}{4}$ です。

すると、

$\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$

ここで、$r\cos(\theta - \beta)$ の形に変形したいので、$\sin$ を $\cos$ に変換する必要があります。

$\sin x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$ という関係式を使うと、

$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{2} - (\theta + \frac{\pi}{4})) = \cos(\frac{\pi}{4} - \theta) = \cos(-(\theta - \frac{\pi}{4})) = \cos(\theta - \frac{\pi}{4})$

よって、

$\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\cos(\theta - \frac{\pi}{4})$

したがって、$r = \sqrt{2}$、$\beta = \frac{\pi}{4}$ となります。

$\beta$の範囲は$-\pi < \beta \le \pi$なので、問題ありません。

3. 最終的な答え

$r = \sqrt{2}$

$\beta = \frac{\pi}{4}$

$\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\cos(\theta - \frac{\pi}{4})$