数列 $\{a_n\}$ の一般項が $a_n = \frac{1}{(3n+1)(3n+4)}$ で与えられているとき、和 $\sum_{k=1}^n a_k$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の一般項が $a_n = \frac{1}{(3n+1)(3n+4)}$ で与えられているとき、和 $\sum_{k=1}^n a_k$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$a_n$ を部分分数分解します。

$a_n = \frac{1}{(3n+1)(3n+4)} = \frac{A}{3n+1} + \frac{B}{3n+4}$

となる $A$ と $B$ を求めます。両辺に $(3n+1)(3n+4)$ をかけると

$1 = A(3n+4) + B(3n+1)$

$1 = (3A+3B)n + (4A+B)$

これが任意の $n$ について成り立つので、

$3A+3B = 0$

$4A+B = 1$

上の式から $A=-B$ であるので、下の式に代入して

$4A - A = 1$

$3A = 1$

$A = \frac{1}{3}$

$B = -\frac{1}{3}$

したがって、

$a_n = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3n+1} - \frac{1}{3n+4}\right)$

次に、$\sum_{k=1}^n a_k$ を計算します。

$\sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3k+1} - \frac{1}{3k+4}\right) = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{3k+1} - \frac{1}{3k+4}\right)$

$=\frac{1}{3}\left[\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{7}-\frac{1}{10}\right) + \left(\frac{1}{10}-\frac{1}{13}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{3n+1}-\frac{1}{3n+4}\right)\right]$

これはtelescoping sumになっているので、ほとんどの項が相殺されます。

$\sum_{k=1}^n a_k = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{7} + \frac{1}{10} - \frac{1}{3n+1} - \frac{1}{3n+4} - \frac{1}{3n+7}\right)$ とはなりません。

$\sum_{k=1}^n a_k = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{7} + \frac{1}{10} + ... + \frac{1}{3n+1} - (\frac{1}{7} + \frac{1}{10} + \frac{1}{13} + ... + \frac{1}{3n+4})\right)$

$= \frac{1}{3} \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{7} + \frac{1}{10} + ... + \frac{1}{3n+1} - \frac{1}{7} - \frac{1}{10} - ... - \frac{1}{3(n-1)+4} - \frac{1}{3n+1} - \frac{1}{3n+4} \right)$

$= \frac{1}{3} \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{7} + \frac{1}{10} ... \frac{1}{3(n-1)+1} + \frac{1}{3n+1} - \frac{1}{7} - \frac{1}{10} ... - \frac{1}{3(n-1)+4} - \frac{1}{3n+1} - \frac{1}{3n+4} \right)$

$= \frac{1}{3}\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{3n+4}\right)$

$\sum_{k=1}^n a_k = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{3n+4}\right) = \frac{1}{3}\left(\frac{3n+4-4}{4(3n+4)}\right) = \frac{1}{3}\left(\frac{3n}{4(3n+4)}\right) = \frac{n}{4(3n+4)} = \frac{n}{12n+16}$

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^n a_k = \frac{n}{12n+16}$