与えられた定積分の和を計算する問題です。 $\int_{-2}^{1} (-x^2+3)dx + \int_{0}^{-2} (-x^2+3)dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分の和を計算する問題です。

$\int_{-2}^{1} (-x^2+3)dx + \int_{0}^{-2} (-x^2+3)dx$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの定積分を計算します。

$\int (-x^2+3)dx = -\frac{1}{3}x^3 + 3x + C$

次に、一つ目の定積分を計算します。

$\int_{-2}^{1} (-x^2+3)dx = [-\frac{1}{3}x^3 + 3x]_{-2}^{1} = (-\frac{1}{3}(1)^3 + 3(1)) - (-\frac{1}{3}(-2)^3 + 3(-2)) = (-\frac{1}{3} + 3) - (\frac{8}{3} - 6) = -\frac{1}{3} + 3 - \frac{8}{3} + 6 = 9 - \frac{9}{3} = 9 - 3 = 6$

次に、二つ目の定積分を計算します。

$\int_{0}^{-2} (-x^2+3)dx = [-\frac{1}{3}x^3 + 3x]_{0}^{-2} = (-\frac{1}{3}(-2)^3 + 3(-2)) - (-\frac{1}{3}(0)^3 + 3(0)) = (\frac{8}{3} - 6) - (0) = \frac{8}{3} - 6 = \frac{8}{3} - \frac{18}{3} = -\frac{10}{3}$

最後に、二つの定積分の和を計算します。

$\int_{-2}^{1} (-x^2+3)dx + \int_{0}^{-2} (-x^2+3)dx = 6 + (-\frac{10}{3}) = 6 - \frac{10}{3} = \frac{18}{3} - \frac{10}{3} = \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{3}$