与えられた定積分の値を求めます。問題は、次の式で表されます。 $ -\int_{\frac{3}{2}}^{0} (3x-1)(3x-2) \, dx + \int_{\frac{3}{2}}^{1} (3x-1)(3x-2) \, dx $

1. 問題の内容

与えられた定積分の値を求めます。問題は、次の式で表されます。

$-\int_{\frac{3}{2}}^{0} (3x-1)(3x-2) \, dx + \int_{\frac{3}{2}}^{1} (3x-1)(3x-2) \, dx$

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を展開します。

$(3x-1)(3x-2) = 9x^2 - 6x - 3x + 2 = 9x^2 - 9x + 2$

次に、不定積分を計算します。

$\int (9x^2 - 9x + 2) \, dx = 3x^3 - \frac{9}{2}x^2 + 2x + C$

ここで、$F(x) = 3x^3 - \frac{9}{2}x^2 + 2x$ と置きます。

一つ目の定積分を計算します。

$-\int_{\frac{3}{2}}^{0} (3x-1)(3x-2) \, dx = -[F(0) - F(\frac{3}{2})] = F(\frac{3}{2}) - F(0)$

$F(0) = 0$

$F(\frac{3}{2}) = 3(\frac{3}{2})^3 - \frac{9}{2}(\frac{3}{2})^2 + 2(\frac{3}{2}) = 3(\frac{27}{8}) - \frac{9}{2}(\frac{9}{4}) + 3 = \frac{81}{8} - \frac{81}{8} + 3 = 3$

したがって、$-\int_{\frac{3}{2}}^{0} (3x-1)(3x-2) \, dx = 3 - 0 = 3$

二つ目の定積分を計算します。

$\int_{\frac{3}{2}}^{1} (3x-1)(3x-2) \, dx = F(1) - F(\frac{3}{2})$

$F(1) = 3(1)^3 - \frac{9}{2}(1)^2 + 2(1) = 3 - \frac{9}{2} + 2 = 5 - \frac{9}{2} = \frac{10-9}{2} = \frac{1}{2}$

$F(\frac{3}{2}) = 3$ (上記参照)

したがって、$\int_{\frac{3}{2}}^{1} (3x-1)(3x-2) \, dx = \frac{1}{2} - 3 = \frac{1 - 6}{2} = -\frac{5}{2}$

最後に、二つの定積分の和を計算します。

$3 - \frac{5}{2} = \frac{6-5}{2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$