定積分 $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} (5\sin t) dt$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} (5\sin t) dt$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int 5\sin t dt$ を計算します。

$\sin t$ の積分は $-\cos t$ なので、

$\int 5\sin t dt = -5\cos t + C$ （$C$は積分定数）

となります。

次に、定積分の定義に従い、積分区間の上限と下限の値を代入して差を計算します。

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} (5\sin t) dt = [-5\cos t]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} = -5\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) - \left(-5\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)$

$\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$ であり、$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ なので、

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} (5\sin t) dt = -5\left(-\frac{1}{2}\right) + 5\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{5}{2} + \frac{5}{2} = 5$

3. 最終的な答え

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