関数 $f(x) = -x + 2$（$-\pi \le x \le \pi$）をフーリエ級数展開せよ。ただし、$f(x)$ は周期 $2\pi$ の周期関数とする。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x + 2$（$-\pi \le x \le \pi$）をフーリエ級数展開せよ。ただし、$f(x)$ は周期 $2\pi$ の周期関数とする。

2. 解き方の手順

フーリエ級数展開は、一般に次のように表されます。

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$

ここで、$a_0$, $a_n$, $b_n$ はフーリエ係数で、以下のように計算されます。

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx$

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx$

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx$

まず、$a_0$ を計算します。

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (-x+2) \, dx = \frac{1}{\pi} [-\frac{x^2}{2} + 2x]_{-\pi}^{\pi} = \frac{1}{\pi} [(-\frac{\pi^2}{2} + 2\pi) - (-\frac{(-\pi)^2}{2} - 2\pi)] = \frac{1}{\pi}(-\frac{\pi^2}{2} + 2\pi + \frac{\pi^2}{2} + 2\pi) = \frac{4\pi}{\pi} = 4$

次に、$a_n$ を計算します。

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (-x+2) \cos(nx) \, dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (-x \cos(nx) + 2 \cos(nx)) \, dx$

ここで、$x \cos(nx)$ は奇関数なので、$\int_{-\pi}^{\pi} x \cos(nx) \, dx = 0$となります。また、$2 \cos(nx)$ は偶関数なので、$\int_{-\pi}^{\pi} 2 \cos(nx) \, dx = 2 \int_{0}^{\pi} 2 \cos(nx) \, dx$となります。

したがって、$a_n = \frac{1}{\pi} (0 + 2 \int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx) \, dx) = \frac{4}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos(nx) dx = \frac{4}{\pi} [\frac{\sin(nx)}{n}]_0^{\pi} = \frac{4}{n\pi} (\sin(n\pi) - \sin(0)) = 0$

最後に、$b_n$ を計算します。

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (-x+2) \sin(nx) \, dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (-x \sin(nx) + 2 \sin(nx)) \, dx$

ここで、$x \sin(nx)$ は偶関数なので、$\int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx) \, dx = 2 \int_{0}^{\pi} x \sin(nx) \, dx$となります。また、$2 \sin(nx)$ は奇関数なので、$\int_{-\pi}^{\pi} 2 \sin(nx) \, dx = 0$となります。

したがって、$b_n = \frac{1}{\pi} (- \int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx) \, dx) = -\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \sin(nx) \, dx$

部分積分を使って$\int_{0}^{\pi} x \sin(nx) \, dx$を計算します。$u = x$, $dv = \sin(nx) \, dx$とすると、$du = dx$, $v = -\frac{\cos(nx)}{n}$となります。

$\int_{0}^{\pi} x \sin(nx) \, dx = [-\frac{x \cos(nx)}{n}]_0^{\pi} - \int_{0}^{\pi} -\frac{\cos(nx)}{n} \, dx = [-\frac{\pi \cos(n\pi)}{n} - 0] + \frac{1}{n} \int_{0}^{\pi} \cos(nx) \, dx = -\frac{\pi (-1)^n}{n} + \frac{1}{n} [\frac{\sin(nx)}{n}]_0^{\pi} = -\frac{\pi (-1)^n}{n} + 0 = -\frac{\pi (-1)^n}{n}$

したがって、$b_n = -\frac{2}{\pi} (-\frac{\pi (-1)^n}{n}) = \frac{2 (-1)^n}{n}$

フーリエ級数は次のようになります。

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)) = \frac{4}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (0 \cdot \cos(nx) + \frac{2 (-1)^n}{n} \sin(nx)) = 2 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 (-1)^n}{n} \sin(nx)$

3. 最終的な答え

$f(x) = 2 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 (-1)^n}{n} \sin(nx)$