曲線 $y = x^2 + x$ と曲線 $y = 2x^2$ で囲まれた図形の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2 + x$ と曲線 $y = 2x^2$ で囲まれた図形の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2つの曲線の交点を求めます。

$x^2 + x = 2x^2$

$0 = x^2 - x$

$0 = x(x - 1)$

よって、交点のx座標は $x = 0$ と $x = 1$ です。

次に、区間 $[0, 1]$ でどちらの関数が大きいかを判断します。

区間 $[0, 1]$ で $x = 0.5$ のとき、

$y = (0.5)^2 + 0.5 = 0.25 + 0.5 = 0.75$

$y = 2(0.5)^2 = 2(0.25) = 0.5$

したがって、区間 $[0, 1]$ では $y = x^2 + x$ の方が $y = 2x^2$ よりも大きいです。

面積は、大きい方の関数から小さい方の関数を引いたものを積分することで求めることができます。

$S = \int_0^1 (x^2 + x - 2x^2) dx = \int_0^1 (-x^2 + x) dx$

$S = \left[-\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2\right]_0^1$

$S = \left(-\frac{1}{3}(1)^3 + \frac{1}{2}(1)^2\right) - \left(-\frac{1}{3}(0)^3 + \frac{1}{2}(0)^2\right)$

$S = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{-2 + 3}{6} = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6}$