## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

以下の数列の極限値を求めます。

(1) $a_n = \frac{(-1)^n}{n}$

(2) $a_n = \frac{n+1}{n}$

(3) $a_n = \frac{3^n - 5^n}{5^n}$

(4) $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)\left(3 + \frac{1}{n^2}\right)$

(5) $a_n = \sqrt{n}(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$

また、数列 $\{a_n\}$, $a_n = \frac{1}{n(n+1)}$ に対して、第 $n$ 部分和 $S_n$ および $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ の値を求めます。

さらに、以下の関数の極限値を求めます。

(1) $\lim_{x \to 2} (3x^2 + x + 6)$

(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x}{(x+1)^2}$

(3) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+1} - x)$

(4) $\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{x^2 - 5x + 6}$

(5) $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 + 7x + 10}$

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2. 解き方の手順

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1. 数列の極限**

(1) $a_n = \frac{(-1)^n}{n}$:

$n \to \infty$ のとき、分母は無限大に発散し、分子は -1 と 1 の間を振動しますが、$n$ が大きくなるにつれて、$\frac{1}{n}$ は 0 に近づきます。したがって、極限は 0 です。

(2) $a_n = \frac{n+1}{n}$:

$a_n = 1 + \frac{1}{n}$ と変形できます。$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n} \to 0$ であるため、$a_n \to 1$。

(3) $a_n = \frac{3^n - 5^n}{5^n}$:

$a_n = \left(\frac{3}{5}\right)^n - 1$ と変形できます。$n \to \infty$ のとき、$\left(\frac{3}{5}\right)^n \to 0$ であるため、$a_n \to -1$。

(4) $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)\left(3 + \frac{1}{n^2}\right)$:

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n} \to 0$ および $\frac{1}{n^2} \to 0$ であるため、$a_n \to (1+0)(3+0) = 3$。

(5) $a_n = \sqrt{n}(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$:

$a_n = \sqrt{n}(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) \cdot \frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \sqrt{n} \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n} \to 0$ であるため、$a_n \to \frac{1}{\sqrt{1+0} + 1} = \frac{1}{2}$。

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2. 部分和と無限級数**

$a_n = \frac{1}{n(n+1)}$:

$a_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ と部分分数分解できます。したがって、第 $n$ 部分和 $S_n$ は、

$S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1}$

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) = 1$

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3. 関数の極限**

(1) $\lim_{x \to 2} (3x^2 + x + 6)$:

多項式関数なので、直接代入できます。

$3(2^2) + 2 + 6 = 12 + 2 + 6 = 20$

(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x}{(x+1)^2}$:

有理関数なので、直接代入できます。

$\frac{1}{(1+1)^2} = \frac{1}{4}$

(3) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+1} - x)$:

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+1} - x) = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+1} - x) \cdot \frac{\sqrt{x^2+1} + x}{\sqrt{x^2+1} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+1 - x^2}{\sqrt{x^2+1} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x^2+1} + x}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x(\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} + 1)} = 0$

(4) $\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{x^2 - 5x + 6}$:

$\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{(x-2)(x-3)} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{x-3} = \frac{1}{2-3} = -1$

(5) $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 + 7x + 10}$:

$\lim_{x \to -2} \frac{(x-4)(x+2)}{(x+2)(x+5)} = \lim_{x \to -2} \frac{x-4}{x+5} = \frac{-2-4}{-2+5} = \frac{-6}{3} = -2$

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3. 最終的な答え

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1. 数列の極限**

(1) 0

(2) 1

(3) -1

(4) 3

(5) 1/2

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2. 部分和と無限級数**

$S_n = 1 - \frac{1}{n+1}$

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = 1$

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3. 関数の極限**

(1) 20

(2) 1/4

(3) 0

(4) -1

(5) -2