不等式 $\sqrt{2} \le \sin x - \sqrt{3} \cos x < \sqrt{3}$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{2} \le \sin x - \sqrt{3} \cos x < \sqrt{3}$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の合成を行います。

$\sin x - \sqrt{3} \cos x$ を $R\sin(x+\alpha)$ の形に変形します。

$R = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$

$\cos \alpha = \frac{1}{2}$, $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、$\alpha = -\frac{\pi}{3}$ です。

$\sin x - \sqrt{3} \cos x = 2 \sin(x - \frac{\pi}{3})$

したがって、与えられた不等式は

$\sqrt{2} \le 2 \sin(x - \frac{\pi}{3}) < \sqrt{3}$

となります。

不等式を$2$で割ると

$\frac{\sqrt{2}}{2} \le \sin(x - \frac{\pi}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

となります。

$t = x - \frac{\pi}{3}$ とおくと、

$\frac{\sqrt{2}}{2} \le \sin t < \frac{\sqrt{3}}{2}$

これを解きます。

$\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となる $t$ は $t = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$ です。

$\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $t$ は $t = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$ です。

したがって、$\frac{\pi}{4} \le t < \frac{\pi}{3}$ または $\frac{2\pi}{3} < t \le \frac{3\pi}{4}$

ここで、$t = x - \frac{\pi}{3}$ なので、

$\frac{\pi}{4} \le x - \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{3}$ または $\frac{2\pi}{3} < x - \frac{\pi}{3} \le \frac{3\pi}{4}$

$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} \le x < \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}$ または $\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} < x \le \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{3}$

$\frac{7\pi}{12} \le x < \frac{2\pi}{3}$ または $\pi < x \le \frac{13\pi}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{7\pi}{12} \le x < \frac{2\pi}{3}$, $\pi < x \le \frac{13\pi}{12}$