(1) $S = \frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}$ の和を求める。 (2) $S = 2 \cdot 1 + 5 \cdot 2 + 8 \cdot 2^2 + \cdots + (3n-1) \cdot 2^{n-1}$ の和を求める。

1. 問題の内容

(1) $S = \frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}$ の和を求める。

(2) $S = 2 \cdot 1 + 5 \cdot 2 + 8 \cdot 2^2 + \cdots + (3n-1) \cdot 2^{n-1}$ の和を求める。

2. 解き方の手順

(1) 分母の有理化を行う。各項の分母を有理化すると、

$\frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = \frac{\sqrt{k} - \sqrt{k+1}}{(\sqrt{k} + \sqrt{k+1})(\sqrt{k} - \sqrt{k+1})} = \frac{\sqrt{k} - \sqrt{k+1}}{k - (k+1)} = \frac{\sqrt{k} - \sqrt{k+1}}{-1} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$

したがって、

$S = (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + \cdots + (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$

これはtelescoping sumなので、

$S = \sqrt{n+1} - \sqrt{1} = \sqrt{n+1} - 1$

(2) $S = 2 \cdot 1 + 5 \cdot 2 + 8 \cdot 2^2 + \cdots + (3n-1) \cdot 2^{n-1}$とする。

$2S = 2 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2^3 + \cdots + (3n-1) \cdot 2^{n}$

$S - 2S = 2 \cdot 1 + (5-2) \cdot 2 + (8-5) \cdot 2^2 + \cdots + (3n-1 - (3n-4)) \cdot 2^{n-1} - (3n-1) \cdot 2^n$

$-S = 2 + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \cdots + 3 \cdot 2^{n-1} - (3n-1) \cdot 2^n$

$-S = 2 + 3 \sum_{k=1}^{n-1} 2^k - (3n-1) \cdot 2^n$

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^k = \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 2^n - 2$

$-S = 2 + 3(2^n - 2) - (3n-1) \cdot 2^n$

$-S = 2 + 3 \cdot 2^n - 6 - (3n-1) \cdot 2^n$

$-S = -4 + 3 \cdot 2^n - (3n-1) \cdot 2^n$

$-S = -4 + (3 - (3n-1)) \cdot 2^n$

$-S = -4 + (4 - 3n) \cdot 2^n$

$S = 4 + (3n-4) \cdot 2^n$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{n+1} - 1$

(2) $(3n-4)2^n + 4$