(1) 直線 $y = x$ と曲線 $y = x^2 - 2$ で囲まれた図形の面積を求める。 (2) 曲線 $y = x^2 + x$ と曲線 $y = 2x^2$ で囲まれた図形の面積を求める。

1. 問題の内容

(1) 直線 $y = x$ と曲線 $y = x^2 - 2$ で囲まれた図形の面積を求める。

(2) 曲線 $y = x^2 + x$ と曲線 $y = 2x^2$ で囲まれた図形の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、交点を求めるために、$x = x^2 - 2$ を解く。

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x - 2)(x + 1) = 0$

よって、交点の $x$ 座標は $x = 2, -1$ である。

$-1 \leq x \leq 2$ の範囲で、$y = x$ が $y = x^2 - 2$ より上にある。

求める面積 $S_1$ は、

$S_1 = \int_{-1}^{2} (x - (x^2 - 2)) dx$

$S_1 = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx$

$S_1 = [-\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 2x]_{-1}^{2}$

$S_1 = (-\frac{8}{3} + 2 + 4) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2)$

$S_1 = -\frac{8}{3} + 6 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2$

$S_1 = -\frac{9}{3} + 8 - \frac{1}{2}$

$S_1 = -3 + 8 - \frac{1}{2}$

$S_1 = 5 - \frac{1}{2}$

$S_1 = \frac{9}{2}$

(2)

まず、交点を求めるために、$x^2 + x = 2x^2$ を解く。

$x^2 - x = 0$

$x(x - 1) = 0$

よって、交点の $x$ 座標は $x = 0, 1$ である。

$0 \leq x \leq 1$ の範囲で、$y = x^2 + x$ と $y = 2x^2$ のどちらが上にあるかを調べる。

$f(x) = x^2 + x - 2x^2 = -x^2 + x = x(1-x)$

この区間で$f(x) > 0$なので、$y = x^2 + x$が上にある。

求める面積 $S_2$ は、

$S_2 = \int_{0}^{1} ((x^2 + x) - 2x^2) dx$

$S_2 = \int_{0}^{1} (-x^2 + x) dx$

$S_2 = [-\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2]_{0}^{1}$

$S_2 = (-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}) - (0)$

$S_2 = -\frac{2}{6} + \frac{3}{6}$

$S_2 = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{9}{2}$

(2) $\frac{1}{6}$