与えられた定積分を計算します。積分は0からπまでの範囲で、被積分関数は$2Asin(\frac{t}{3}) + Bcos(\frac{t}{2})$です。 つまり、 $\int_0^{\pi} (2Asin(\frac{t}{3}) + Bcos(\frac{t}{2})) dt$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。積分は0からπまでの範囲で、被積分関数は$2Asin(\frac{t}{3}) + Bcos(\frac{t}{2})$です。 つまり、

$\int_0^{\pi} (2Asin(\frac{t}{3}) + Bcos(\frac{t}{2})) dt$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を2つに分けます。

$\int_0^{\pi} 2Asin(\frac{t}{3}) dt + \int_0^{\pi} Bcos(\frac{t}{2}) dt$

次に、それぞれの積分を計算します。

$\int_0^{\pi} 2Asin(\frac{t}{3}) dt = 2A \int_0^{\pi} sin(\frac{t}{3}) dt$

$u = \frac{t}{3}$と置くと、$du = \frac{1}{3} dt$より、$dt = 3 du$です。

$t = 0$のとき、$u = 0$、$t = \pi$のとき、$u = \frac{\pi}{3}$となります。

したがって、

$2A \int_0^{\pi} sin(\frac{t}{3}) dt = 2A \int_0^{\frac{\pi}{3}} sin(u) (3 du) = 6A \int_0^{\frac{\pi}{3}} sin(u) du$

$= 6A [-cos(u)]_0^{\frac{\pi}{3}} = 6A [-cos(\frac{\pi}{3}) - (-cos(0))] = 6A [ - \frac{1}{2} + 1] = 6A(\frac{1}{2}) = 3A$

次に、

$\int_0^{\pi} Bcos(\frac{t}{2}) dt = B \int_0^{\pi} cos(\frac{t}{2}) dt$

$v = \frac{t}{2}$と置くと、$dv = \frac{1}{2} dt$より、$dt = 2 dv$です。

$t = 0$のとき、$v = 0$、$t = \pi$のとき、$v = \frac{\pi}{2}$となります。

したがって、

$B \int_0^{\pi} cos(\frac{t}{2}) dt = B \int_0^{\frac{\pi}{2}} cos(v) (2 dv) = 2B \int_0^{\frac{\pi}{2}} cos(v) dv$

$= 2B [sin(v)]_0^{\frac{\pi}{2}} = 2B [sin(\frac{\pi}{2}) - sin(0)] = 2B [1 - 0] = 2B$

したがって、全体の積分は

$3A + 2B$

3. 最終的な答え

$3A + 2B$