与えられた2つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to \infty} x\{\log(x-2) - \log x\}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x}$

1. 問題の内容

与えられた2つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to \infty} x\{\log(x-2) - \log x\}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x}$

2. 解き方の手順

(1)

$\lim_{x \to \infty} x\{\log(x-2) - \log x\} = \lim_{x \to \infty} x \log(\frac{x-2}{x}) = \lim_{x \to \infty} x \log(1 - \frac{2}{x})$

ここで、$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$ となり、

$\lim_{x \to \infty} x \log(1 - \frac{2}{x}) = \lim_{t \to 0} \frac{\log(1 - 2t)}{t}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$ を使うために、$-2t = u$ とおくと、$t \to 0$ のとき $u \to 0$ となり、

$t = -\frac{u}{2}$ なので、

$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1 - 2t)}{t} = \lim_{u \to 0} \frac{\log(1+u)}{-\frac{u}{2}} = -2 \lim_{u \to 0} \frac{\log(1+u)}{u} = -2 \cdot 1 = -2$

(2)

$\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x}$

ここで、$e^{2x} - 1 \approx 2x$ ($x \to 0$ のとき), $1 - \cos x = 2\sin^2 (\frac{x}{2})$ を用いると、

$\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{x(2x)}{2\sin^2(\frac{x}{2})} = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{2(\frac{x}{2})^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{2\cdot \frac{x^2}{4}} = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2}{\frac{x^2}{2}} = 4$

別の解き方:

ロピタルの定理を用いる。

$\lim_{x \to 0} \frac{x(e^{2x} - 1)}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1 + 2xe^{2x}}{\sin x}$

さらにロピタルの定理を用いると

$\lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x} + 2e^{2x} + 4xe^{2x}}{\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{4e^{2x} + 4xe^{2x}}{\cos x} = \frac{4 \cdot 1 + 4 \cdot 0}{1} = 4$

3. 最終的な答え

(1) -2

(2) 4