曲線 $y = x^2 + x - 8$ と $x$軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2 + x - 8$ と $x$軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $y = x^2 + x - 8$ と $x$軸との交点を求めます。これは、$y = 0$ となる $x$ の値を求めることに相当します。

つまり、$x^2 + x - 8 = 0$ を解きます。

解の公式を用いて、$x$を求めます。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

この場合、$a = 1$, $b = 1$, $c = -8$ なので、

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{2}$

したがって、$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{33}}{2}$ と $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{33}}{2}$ が曲線と $x$軸との交点の $x$座標となります。

次に、面積を計算します。面積は定積分の絶対値で与えられます。この場合、$x_1$ と $x_2$ の間で、$y = x^2 + x - 8$ は負の値をとるので、積分の結果に $-1$ を掛ける必要があります。

$S = -\int_{x_1}^{x_2} (x^2 + x - 8) dx$

$S = -\left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 8x \right]_{x_1}^{x_2}$

ここで、$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{33}}{2}$、$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{33}}{2}$ です。

計算を簡単にするために、$x_2 - x_1 = \sqrt{33}$、$x_1 + x_2 = -1$、$x_1x_2 = -8$を使うと

$S= -\left(\frac{x_2^3 - x_1^3}{3} + \frac{x_2^2 - x_1^2}{2} - 8(x_2 - x_1) \right)$

$x_2^2 - x_1^2 = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1) = \sqrt{33} (-1) = -\sqrt{33}$

$x_2^3 - x_1^3 = (x_2 - x_1)(x_2^2 + x_1 x_2 + x_1^2) = (x_2 - x_1)((x_2 + x_1)^2 - x_1x_2) = \sqrt{33} ((-1)^2 - (-8)) = 9 \sqrt{33}$

$S= -\left(\frac{9\sqrt{33}}{3} + \frac{-\sqrt{33}}{2} - 8(\sqrt{33}) \right) = -\left(3\sqrt{33} - \frac{1}{2}\sqrt{33} - 8\sqrt{33} \right) = -\left( -5\sqrt{33} - \frac{1}{2}\sqrt{33} \right) = 5\sqrt{33} + \frac{1}{2}\sqrt{33} = \frac{11}{2} \sqrt{33}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{11\sqrt{33}}{2}$