放物線 $y = x^2 + 4x + 2$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + 4x + 2$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ 軸との交点を求めます。つまり、$y = 0$ となる $x$ を求めます。

$x^2 + 4x + 2 = 0$

この二次方程式を解の公式を用いて解きます。解の公式は次の通りです。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

この問題では、$a = 1$, $b = 4$, $c = 2$ です。

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2}$

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2}$

$x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{2}$

$x = -2 \pm \sqrt{2}$

よって、$x$ 軸との交点は $x = -2 - \sqrt{2}$ と $x = -2 + \sqrt{2}$ です。

放物線と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ は、定積分で求められます。積分区間は $-2 - \sqrt{2}$ から $-2 + \sqrt{2}$ です。放物線は $x$ 軸より下にあるので、積分結果にマイナスをつけます。

$S = - \int_{-2-\sqrt{2}}^{-2+\sqrt{2}} (x^2 + 4x + 2) dx$

$S = - \left[ \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 2x \right]_{-2-\sqrt{2}}^{-2+\sqrt{2}}$

計算を簡単にするため、$x = -2 + \sqrt{2}$ を代入した結果から $x = -2 - \sqrt{2}$ を代入した結果を引きます。

$x = u-2$ と置くと、積分範囲は $-\sqrt{2}$ から $\sqrt{2}$ となり、

$S = -\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} ((u-2)^2+4(u-2)+2) du = -\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (u^2 - 4u + 4 + 4u - 8 + 2) du = -\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (u^2 - 2) du$

$S = - \left[ \frac{1}{3}u^3 - 2u \right]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$

$S = - \left[ (\frac{1}{3}(\sqrt{2})^3 - 2\sqrt{2}) - (\frac{1}{3}(-\sqrt{2})^3 - 2(-\sqrt{2})) \right]$

$S = - \left[ \frac{2\sqrt{2}}{3} - 2\sqrt{2} - (-\frac{2\sqrt{2}}{3} + 2\sqrt{2}) \right]$

$S = - \left[ \frac{2\sqrt{2}}{3} - 2\sqrt{2} + \frac{2\sqrt{2}}{3} - 2\sqrt{2} \right]$

$S = - \left[ \frac{4\sqrt{2}}{3} - 4\sqrt{2} \right]$

$S = - \left[ \frac{4\sqrt{2} - 12\sqrt{2}}{3} \right]$

$S = - \left[ \frac{-8\sqrt{2}}{3} \right]$

$S = \frac{8\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{8\sqrt{2}}{3}$