与えられた常微分方程式 $L \frac{dI(t)}{dt} + RI(t) = V(t)$ (3.8) について、以下の問題を解く。 (i) 定数変化法を用いて、微分方程式(3.8)の一般解を求める。 (ii) $V(t) = V_0$（$V_0$は定数）の場合の一般解を求める。さらに、初期条件 $I(0) = 0$ を満たす特解を求める。

1. 問題の内容

与えられた常微分方程式 $L \frac{dI(t)}{dt} + RI(t) = V(t)$ (3.8) について、以下の問題を解く。

(i) 定数変化法を用いて、微分方程式(3.8)の一般解を求める。

(ii) $V(t) = V_0$（$V_0$は定数）の場合の一般解を求める。さらに、初期条件 $I(0) = 0$ を満たす特解を求める。

2. 解き方の手順

(i) 定数変化法による一般解の導出

まず、同次方程式を解く。

$L \frac{dI(t)}{dt} + RI(t) = 0$

$\frac{dI(t)}{I(t)} = -\frac{R}{L} dt$

両辺を積分して、

$\int \frac{dI(t)}{I(t)} = \int -\frac{R}{L} dt$

$\ln |I(t)| = -\frac{R}{L}t + C_1$

$I(t) = Ce^{-\frac{R}{L}t}$ （Cは任意の定数）

次に、定数変化法を用いて非同次方程式の一般解を求める。$I(t) = C(t)e^{-\frac{R}{L}t}$ とおき、これを元の微分方程式に代入する。

$L \frac{d}{dt} \left( C(t)e^{-\frac{R}{L}t} \right) + RC(t)e^{-\frac{R}{L}t} = V(t)$

$L \left( \frac{dC(t)}{dt}e^{-\frac{R}{L}t} + C(t) \left( -\frac{R}{L} \right)e^{-\frac{R}{L}t} \right) + RC(t)e^{-\frac{R}{L}t} = V(t)$

$L \frac{dC(t)}{dt}e^{-\frac{R}{L}t} - RC(t)e^{-\frac{R}{L}t} + RC(t)e^{-\frac{R}{L}t} = V(t)$

$L \frac{dC(t)}{dt}e^{-\frac{R}{L}t} = V(t)$

$\frac{dC(t)}{dt} = \frac{V(t)}{L}e^{\frac{R}{L}t}$

$C(t) = \int \frac{V(t)}{L}e^{\frac{R}{L}t} dt + C_2$ (C2は積分定数)

よって、一般解は

$I(t) = \left( \int \frac{V(t)}{L}e^{\frac{R}{L}t} dt + C_2 \right) e^{-\frac{R}{L}t}$

(ii) $V(t) = V_0$ の場合の一般解と特解

$V(t) = V_0$ のとき、

$C(t) = \int \frac{V_0}{L}e^{\frac{R}{L}t} dt + C_2 = \frac{V_0}{L} \cdot \frac{L}{R}e^{\frac{R}{L}t} + C_2 = \frac{V_0}{R}e^{\frac{R}{L}t} + C_2$

したがって、一般解は

$I(t) = \left( \frac{V_0}{R}e^{\frac{R}{L}t} + C_2 \right) e^{-\frac{R}{L}t} = \frac{V_0}{R} + C_2e^{-\frac{R}{L}t}$

初期条件 $I(0) = 0$ より、

$0 = \frac{V_0}{R} + C_2e^0 = \frac{V_0}{R} + C_2$

$C_2 = -\frac{V_0}{R}$

したがって、特解は

$I(t) = \frac{V_0}{R} - \frac{V_0}{R}e^{-\frac{R}{L}t} = \frac{V_0}{R} \left( 1 - e^{-\frac{R}{L}t} \right)$

3. 最終的な答え

(i) 一般解: $I(t) = \left( \int \frac{V(t)}{L}e^{\frac{R}{L}t} dt + C_2 \right) e^{-\frac{R}{L}t}$

(ii) $V(t) = V_0$ の場合の一般解: $I(t) = \frac{V_0}{R} + C_2e^{-\frac{R}{L}t}$

初期条件 $I(0) = 0$ を満たす特解: $I(t) = \frac{V_0}{R} \left( 1 - e^{-\frac{R}{L}t} \right)$