## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

次の8つの積分を計算する問題です。

(1) $\int \frac{1}{2x+1} dx$

(2) $\int (2x+3)^3 dx$

(3) $\int \frac{1}{(4x-3)^3} dx$

(4) $\int \sqrt{2x+3} dx$

(5) $\int \frac{1}{\sqrt{2-3x}} dx$

(6) $\int \sin{3x} dx$

(7) $\int e^{2x+3} dx$

(8) $\int x(2-x)^3 dx$

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2. 解き方の手順

それぞれの積分について、以下の手順で解いていきます。

**(1) $\int \frac{1}{2x+1} dx$**

* $u = 2x + 1$ と置換すると、$du = 2 dx$ より、$dx = \frac{1}{2} du$ となります。

* 積分は $\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln |u| + C$ となります。

* $u$ を $2x+1$ に戻すと、$\frac{1}{2} \ln |2x+1| + C$ となります。

**(2) $\int (2x+3)^3 dx$**

* $u = 2x + 3$ と置換すると、$du = 2 dx$ より、$dx = \frac{1}{2} du$ となります。

* 積分は $\int u^3 \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^3 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^4}{4} + C = \frac{1}{8} u^4 + C$ となります。

* $u$ を $2x+3$ に戻すと、$\frac{1}{8} (2x+3)^4 + C$ となります。

**(3) $\int \frac{1}{(4x-3)^3} dx$**

* $u = 4x - 3$ と置換すると、$du = 4 dx$ より、$dx = \frac{1}{4} du$ となります。

* 積分は $\int \frac{1}{u^3} \cdot \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int u^{-3} du = \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{8u^2} + C$ となります。

* $u$ を $4x-3$ に戻すと、$-\frac{1}{8(4x-3)^2} + C$ となります。

**(4) $\int \sqrt{2x+3} dx$**

* $u = 2x + 3$ と置換すると、$du = 2 dx$ より、$dx = \frac{1}{2} du$ となります。

* 積分は $\int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ となります。

* $u$ を $2x+3$ に戻すと、$\frac{1}{3} (2x+3)^{\frac{3}{2}} + C$ となります。

**(5) $\int \frac{1}{\sqrt{2-3x}} dx$**

* $u = 2 - 3x$ と置換すると、$du = -3 dx$ より、$dx = -\frac{1}{3} du$ となります。

* 積分は $\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot (-\frac{1}{3}) du = -\frac{1}{3} \int u^{-\frac{1}{2}} du = -\frac{1}{3} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = -\frac{2}{3} \sqrt{u} + C$ となります。

* $u$ を $2-3x$ に戻すと、$-\frac{2}{3} \sqrt{2-3x} + C$ となります。

**(6) $\int \sin{3x} dx$**

* $u = 3x$ と置換すると、$du = 3 dx$ より、$dx = \frac{1}{3} du$ となります。

* 積分は $\int \sin{u} \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int \sin{u} du = \frac{1}{3} (-\cos{u}) + C = -\frac{1}{3} \cos{u} + C$ となります。

* $u$ を $3x$ に戻すと、$-\frac{1}{3} \cos{3x} + C$ となります。

**(7) $\int e^{2x+3} dx$**

* $u = 2x + 3$ と置換すると、$du = 2 dx$ より、$dx = \frac{1}{2} du$ となります。

* 積分は $\int e^{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int e^{u} du = \frac{1}{2} e^{u} + C$ となります。

* $u$ を $2x+3$ に戻すと、$\frac{1}{2} e^{2x+3} + C$ となります。

**(8) $\int x(2-x)^3 dx$**

* $(2-x)^3$を展開すると $8 - 12x + 6x^2 - x^3$

* $x(2-x)^3 = 8x - 12x^2 + 6x^3 - x^4$

* $\int x(2-x)^3 dx = \int (8x - 12x^2 + 6x^3 - x^4) dx = 4x^2 - 4x^3 + \frac{3}{2}x^4 - \frac{1}{5}x^5 + C$

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3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2} \ln |2x+1| + C$

(2) $\frac{1}{8} (2x+3)^4 + C$

(3) $-\frac{1}{8(4x-3)^2} + C$

(4) $\frac{1}{3} (2x+3)^{\frac{3}{2}} + C$

(5) $-\frac{2}{3} \sqrt{2-3x} + C$

(6) $-\frac{1}{3} \cos{3x} + C$

(7) $\frac{1}{2} e^{2x+3} + C$

(8) $4x^2 - 4x^3 + \frac{3}{2}x^4 - \frac{1}{5}x^5 + C$