数列 $1, 2, 3, ..., n$ において、異なる2つの項の積の和を求める問題です。ただし、$n \ge 2$ とします。

1. 問題の内容

数列 $1, 2, 3, ..., n$ において、異なる2つの項の積の和を求める問題です。ただし、$n \ge 2$ とします。

2. 解き方の手順

まず、$S = 1 + 2 + 3 + ... + n$ とおきます。これは初項1、末項n、項数nの等差数列の和なので、

$S = \frac{n(n+1)}{2}$

次に、$S^2$を計算します。

$S^2 = (1 + 2 + 3 + ... + n)^2 = (1+2+3+...+n)(1+2+3+...+n)$

この展開には、$1^2, 2^2, 3^2, ..., n^2$ という項と、$1\times2, 1\times3, 2\times3$ のような異なる2つの項の積が2回ずつ現れます。求める異なる2つの項の積の和を$A$とすると、

$S^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 + 2A$

したがって、$A$は次のように表されます。

$A = \frac{S^2 - (1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2)}{2}$

$1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2$ は、平方数の和の公式により、

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

したがって、

$A = \frac{S^2 - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{2}$

$S = \frac{n(n+1)}{2}$を代入すると、

$A = \frac{(\frac{n(n+1)}{2})^2 - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{2}$

$A = \frac{\frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{2}$

$A = \frac{n(n+1)}{24} [3n(n+1) - 2(2n+1)]$

$A = \frac{n(n+1)}{24} [3n^2 + 3n - 4n - 2]$

$A = \frac{n(n+1)(3n^2 - n - 2)}{24}$

$A = \frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{24}$

$A = \frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{24} = \frac{n(n^2 - 1)(3n+2)}{24} = \frac{n(3n^3 + 2n^2 - 3n - 2)}{24}$

$A = \frac{3n^4 + 2n^3 - 3n^2 - 2n}{24}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{24} = \frac{3n^4 + 2n^3 - 3n^2 - 2n}{24}$