$a$ は正の定数とする。集合 $P$ を $P = \{x | x^2 - (a-1)x - a \le 0, x は整数\}$ と定める。 (1) $a = 4$ のとき、集合 $P$ の要素をすべて求めよ。 (2) 集合 $P$ の要素の個数が5個であるような $a$ の値の範囲を求めよ。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。集合 $P$ を $P = \{x | x^2 - (a-1)x - a \le 0, x は整数\}$ と定める。

(1) $a = 4$ のとき、集合 $P$ の要素をすべて求めよ。

(2) 集合 $P$ の要素の個数が5個であるような $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a = 4$ のとき、不等式 $x^2 - (a-1)x - a \le 0$ は $x^2 - 3x - 4 \le 0$ となる。

この不等式を解く。まず、左辺を因数分解すると $(x-4)(x+1) \le 0$ となる。

したがって、$-1 \le x \le 4$ となる。

$x$ は整数であるから、$x = -1, 0, 1, 2, 3, 4$ となる。

よって、集合 $P$ の要素は $\{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ である。

(2) 不等式 $x^2 - (a-1)x - a \le 0$ を解く。

左辺を因数分解すると $(x-a)(x+1) \le 0$ となる。

$a$ は正の定数なので、$x \ge -1$ かつ $x \le a$ となる。

したがって、$-1 \le x \le a$ となる。

集合 $P$ の要素の個数が5個であることから、$x$ は $-1, 0, 1, 2, 3$ の5個となる必要がある。

したがって、$3 \le a < 4$ が必要である。

$x$ は整数なので、$a$ が $3 \le a < 4$ の範囲であれば、$x$ は $-1, 0, 1, 2, 3$ の5個となる。

3. 最終的な答え

(1) $P = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}$

(2) $3 \le a < 4$