問題は、$a$を(2)で求めた値とし、$k$を正の定数とするとき、$0 \le x \le k$ における関数 $g(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とします。 $M - m = k + 2$ となるような $k$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、$a$を(2)で求めた値とし、$k$を正の定数とするとき、$0 \le x \le k$ における関数 $g(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とします。 $M - m = k + 2$ となるような $k$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$g(x)$ は $(x-2)^2+a$の形をしていると推測されます。しかし、画像には正確な$g(x)$の式が書かれていません。したがって、ここでは一般的な解き方を記述します。$g(x)$が$(x-2)^2 + a$という前提で進めます。

まず、$g(x)$ の軸は $x = 2$ です。区間 $0 \le x \le k$ における $g(x)$ の最大値 $M$ と最小値 $m$ を考えます。

場合分けが必要です。

(i) $k < 2$ のとき:

$g(x)$ は区間 $[0, k]$ で単調減少なので、$M = g(0)$, $m = g(k)$ となります。

$M = (0 - 2)^2 + a = 4 + a$

$m = (k - 2)^2 + a$

$M - m = (4 + a) - ((k - 2)^2 + a) = 4 - (k^2 - 4k + 4) = 4k - k^2$

$M - m = k + 2$ より、$4k - k^2 = k + 2$

$k^2 - 3k + 2 = 0$

$(k - 1)(k - 2) = 0$

$k = 1, 2$

$k < 2$ という条件より、$k = 1$。

(ii) $k > 2$ のとき:

$g(x)$ は $x = 2$ で最小値を取ります。$m = g(2) = a$

$M = g(0)$ または $g(k)$ のどちらか大きい方です。

$g(0) = 4 + a$

$g(k) = (k - 2)^2 + a$

$g(0) > g(k)$ となるのは、$4 + a > (k - 2)^2 + a$ つまり、$4 > k^2 - 4k + 4$、$0 > k^2 - 4k$、$0 > k(k-4)$、$0 < k < 4$ のときです。

$k > 2$ より、$2 < k < 4$。このとき、$M = 4 + a$

$M - m = (4 + a) - a = 4$

$M - m = k + 2$ より、$4 = k + 2$

$k = 2$。これは $2 < k < 4$ を満たさないので不適。

$g(0) < g(k)$ となるのは、$k > 4$ のときです。このとき、$M = (k - 2)^2 + a$

$M - m = (k - 2)^2 + a - a = (k - 2)^2 = k^2 - 4k + 4$

$M - m = k + 2$ より、$k^2 - 4k + 4 = k + 2$

$k^2 - 5k + 2 = 0$

$k = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$

$k > 4$ より、$k = \frac{5 + \sqrt{17}}{2}$

$k = 2$ のときを考える。$M=g(0), m =g(2)$

$M-m = (4+a)-a = 4 = k+2=4$ より、$k=2$

3. 最終的な答え

$k = 1, 2, \frac{5 + \sqrt{17}}{2}$