数列 $1, 2, 3, \dots, n$ において、以下の和を求める。 (1) 異なる2つの項の積の和 (ただし、$n \geq 2$) (2) 互いに隣り合わない異なる2つの項の積の和 (ただし、$n \geq 3$)

1. 問題の内容

数列 $1, 2, 3, \dots, n$ において、以下の和を求める。

(1) 異なる2つの項の積の和 (ただし、$n \geq 2$)

(2) 互いに隣り合わない異なる2つの項の積の和 (ただし、$n \geq 3$)

2. 解き方の手順

(1) 異なる2つの項の積の和

数列の和を $S = \sum_{k=1}^n k$ とすると、

$S = \frac{n(n+1)}{2}$ である。

また、数列の2乗の和を $T = \sum_{k=1}^n k^2$ とすると、

$T = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ である。

求める和を$A$とすると、

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A = \sum_{1 \le i < j \le n} ij = \frac{1}{2} \left( \left( \sum_{k=1}^n k \right)^2 - \sum_{k=1}^n k^2 \right) = \frac{1}{2} (S^2 - T)

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A = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right]

= \frac{1}{2} \left[ \frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right]

= \frac{n(n+1)}{2} \left[ \frac{n(n+1)}{4} - \frac{2n+1}{6} \right]

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= \frac{n(n+1)}{2} \cdot \frac{3n(n+1) - 2(2n+1)}{12}

= \frac{n(n+1)(3n^2+3n-4n-2)}{24}

= \frac{n(n+1)(3n^2-n-2)}{24}

= \frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{24}

= \frac{n(n-1)(n+1)(3n+2)}{24}

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よって、

$A = \frac{n(n-1)(n+1)(3n+2)}{24}$

(2) 互いに隣り合わない異なる2つの項の積の和

求める和を$B$とする。

$B = A - \sum_{k=1}^{n-1} k(k+1)$

$\sum_{k=1}^{n-1} k(k+1) = \sum_{k=1}^{n-1} (k^2 + k) = \sum_{k=1}^{n-1} k^2 + \sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + \frac{(n-1)n}{2}$

$= \frac{(n-1)n(2n-1 + 3)}{6} = \frac{(n-1)n(2n+2)}{6} = \frac{(n-1)n(n+1)}{3}$

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B = A - \frac{(n-1)n(n+1)}{3} = \frac{n(n-1)(n+1)(3n+2)}{24} - \frac{8n(n-1)(n+1)}{24}

= \frac{n(n-1)(n+1)(3n+2-8)}{24} = \frac{n(n-1)(n+1)(3n-6)}{24}

= \frac{3n(n-1)(n+1)(n-2)}{24} = \frac{n(n-2)(n-1)(n+1)}{8}

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よって、

$B = \frac{n(n-2)(n-1)(n+1)}{8}$

3. 最終的な答え

(1) 異なる2つの項の積の和: $\frac{n(n-1)(n+1)(3n+2)}{24}$

(2) 互いに隣り合わない異なる2つの項の積の和: $\frac{n(n-2)(n-1)(n+1)}{8}$