与えられた行列式 $a_n$ について、以下の問いに答えます。 (1) $a_2, a_3, a_4$ の値を求めます。 (2) $a_n$ を $a_{n-1}, a_{n-2}$ を用いて表します。 (3) $a_n$ を $n$ を用いて表します。

1. 問題の内容

与えられた行列式 $a_n$ について、以下の問いに答えます。

(1) $a_2, a_3, a_4$ の値を求めます。

(2) $a_n$ を $a_{n-1}, a_{n-2}$ を用いて表します。

(3) $a_n$ を $n$ を用いて表します。

2. 解き方の手順

(1) $a_2, a_3, a_4$ の値を求める。

$a_2$ は与えられており、$a_2 = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \times 2 - 1 \times 1 = 4 - 1 = 3$

$a_3 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} + 0 = 2(4-1) - (2-0) = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4$

$a_4 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2a_3 - 1\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2(4) - 3 = 8-3 = 5$

(2) $a_n$ を $a_{n-1}, a_{n-2}$ を用いて表す。

$a_n$ を第一行で展開すると、

$a_n = 2a_{n-1} - 1\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 2 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 2 \end{vmatrix} = 2a_{n-1} - a_{n-2}$

$a_n = 2a_{n-1} - a_{n-2}$

(3) $a_n$ を $n$ を用いて表す。

特性方程式は $x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x-1)^2 = 0$

$x = 1$ (重解)

よって $a_n = (An+B)1^n = An + B$

$a_1 = 2$ なので $A+B = 2$

$a_2 = 3$ なので $2A+B = 3$

$A = 1, B = 1$

$a_n = n + 1$

3. 最終的な答え

(1) $a_2 = 3, a_3 = 4, a_4 = 5$

(2) $a_n = 2a_{n-1} - a_{n-2}$

(3) $a_n = n + 1$