ベクトル $\vec{a} = (-1, 1, 4)$, $\vec{b} = (1, 2, 3)$, $\vec{c} = (1, 3, z)$ が与えられている。$\vec{c} = s\vec{a} + t\vec{b}$ となる実数 $s$, $t$, $z$ を求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (-1, 1, 4)$, $\vec{b} = (1, 2, 3)$, $\vec{c} = (1, 3, z)$ が与えられている。$\vec{c} = s\vec{a} + t\vec{b}$ となる実数 $s$, $t$, $z$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$\vec{c} = s\vec{a} + t\vec{b}$ を成分で表すと、

$$(1, 3, z) = s(-1, 1, 4) + t(1, 2, 3)$$

$$(1, 3, z) = (-s + t, s + 2t, 4s + 3t)$$

各成分を比較して、以下の連立方程式を得る。

$$-s + t = 1 \quad \cdots (1)$$

$$s + 2t = 3 \quad \cdots (2)$$

$$4s + 3t = z \quad \cdots (3)$$

(1) + (2) より、

$$3t = 4$$

$$t = \frac{4}{3}$$

(1) に代入して、

$$-s + \frac{4}{3} = 1$$

$$-s = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$$

$$s = \frac{1}{3}$$

(3) に $s = \frac{1}{3}$, $t = \frac{4}{3}$ を代入して、

$$z = 4s + 3t = 4(\frac{1}{3}) + 3(\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} + 4 = \frac{4}{3} + \frac{12}{3} = \frac{16}{3}$$

3. 最終的な答え

$s = \frac{1}{3}$, $t = \frac{4}{3}$, $z = \frac{16}{3}$