$a > 0$、$b > 0$のとき、不等式 $\left(a + \frac{1}{b}\right)\left(4b + \frac{1}{a}\right) \geq 9$ を証明する問題です。

1. 問題の内容

$a > 0$、$b > 0$のとき、不等式 $\left(a + \frac{1}{b}\right)\left(4b + \frac{1}{a}\right) \geq 9$ を証明する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式の左辺を展開します。

$\left(a + \frac{1}{b}\right)\left(4b + \frac{1}{a}\right) = 4ab + \frac{a}{a} + \frac{4b}{b} + \frac{1}{ab} = 4ab + 1 + 4 + \frac{1}{ab} = 4ab + \frac{1}{ab} + 5$

したがって、示すべき不等式は

$4ab + \frac{1}{ab} + 5 \geq 9$

となります。これを整理すると、

$4ab + \frac{1}{ab} \geq 4$

となります。

ここで、$4ab$ と $\frac{1}{ab}$ に着目すると、相加平均・相乗平均の関係が使えそうです。

相加平均・相乗平均の関係より、

$\frac{4ab + \frac{1}{ab}}{2} \geq \sqrt{4ab \cdot \frac{1}{ab}} = \sqrt{4} = 2$

したがって、

$4ab + \frac{1}{ab} \geq 4$

が成り立ちます。

よって、

$4ab + \frac{1}{ab} + 5 \geq 4 + 5 = 9$

となり、与えられた不等式が証明されました。

3. 最終的な答え

$\left(a + \frac{1}{b}\right)\left(4b + \frac{1}{a}\right) \geq 9$ が成り立つ。