与えられた式 $\frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}}$ を変形して、$\sqrt{k+3} - \sqrt{k+2}$ となることを示す問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}}$ を変形して、$\sqrt{k+3} - \sqrt{k+2}$ となることを示す問題です。

2. 解き方の手順

与えられた分数の分母を有理化するために、分母の共役な複素数 $\sqrt{k+2} - \sqrt{k+3}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}} = \frac{1}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+3}} \cdot \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+3}}{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+3}}$

$= \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+3}}{(\sqrt{k+2})^2 - (\sqrt{k+3})^2}$

$= \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+3}}{(k+2) - (k+3)}$

$= \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+3}}{k+2 - k - 3}$

$= \frac{\sqrt{k+2} - \sqrt{k+3}}{-1}$

$= -(\sqrt{k+2} - \sqrt{k+3})$

$= \sqrt{k+3} - \sqrt{k+2}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{k+3} - \sqrt{k+2}$