複素数 $(2+3i)$ の3乗を計算する問題です。

1. 問題の内容

複素数 $(2+3i)$ の3乗を計算する問題です。

2. 解き方の手順

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ の公式を利用します。

この公式に $a=2$、$b=3i$ を代入して計算します。

また、$i^2 = -1$、$i^3 = i^2 \cdot i = -i$ を利用して式を整理します。

まず、$(2+3i)^3$ を展開します。

$(2+3i)^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot 3i + 3 \cdot 2 \cdot (3i)^2 + (3i)^3$

それぞれの項を計算します。

$2^3 = 8$

$3 \cdot 2^2 \cdot 3i = 3 \cdot 4 \cdot 3i = 36i$

$3 \cdot 2 \cdot (3i)^2 = 3 \cdot 2 \cdot 9i^2 = 54i^2$

$(3i)^3 = 27i^3$

したがって、

$(2+3i)^3 = 8 + 36i + 54i^2 + 27i^3$

次に、$i^2 = -1$、$i^3 = -i$ を代入します。

$54i^2 = 54 \cdot (-1) = -54$

$27i^3 = 27 \cdot (-i) = -27i$

$(2+3i)^3 = 8 + 36i - 54 - 27i$

実部と虚部をまとめます。

$(2+3i)^3 = (8 - 54) + (36i - 27i) = -46 + 9i$

3. 最終的な答え

$-46 + 9i$