数列$\{a_n\}$の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が与えられたとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。 具体的には、以下の3つの場合について $a_n$ を求めます。 (1) $S_n = 2n^2 + 5n$ (2) $S_n = n^3 - 1$ (3) $S_n = 2^n - 1$

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が与えられたとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

具体的には、以下の3つの場合について $a_n$ を求めます。

(1) $S_n = 2n^2 + 5n$

(2) $S_n = n^3 - 1$

(3) $S_n = 2^n - 1$

2. 解き方の手順

一般項 $a_n$ は、和 $S_n$ を用いて以下のように計算できます。

$n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$

$n = 1$ のとき、$a_1 = S_1$

(1) $S_n = 2n^2 + 5n$ の場合

$a_1 = S_1 = 2(1)^2 + 5(1) = 2 + 5 = 7$

$n \geq 2$ のとき

\begin{align*}

a_n &= S_n - S_{n-1} \\

&= (2n^2 + 5n) - (2(n-1)^2 + 5(n-1)) \\

&= (2n^2 + 5n) - (2(n^2 - 2n + 1) + 5n - 5) \\

&= (2n^2 + 5n) - (2n^2 - 4n + 2 + 5n - 5) \\

&= 2n^2 + 5n - 2n^2 + 4n - 2 - 5n + 5 \\

&= 4n + 3

\end{align*}

$a_1 = 7$ であり、$4(1) + 3 = 7$ なので、$a_n = 4n + 3$ は $n=1$ でも成立します。

(2) $S_n = n^3 - 1$ の場合

$a_1 = S_1 = (1)^3 - 1 = 1 - 1 = 0$

$n \geq 2$ のとき

\begin{align*}

a_n &= S_n - S_{n-1} \\

&= (n^3 - 1) - ((n-1)^3 - 1) \\

&= (n^3 - 1) - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1 - 1) \\

&= n^3 - 1 - n^3 + 3n^2 - 3n + 2 \\

&= 3n^2 - 3n + 1

\end{align*}

$a_1 = 0$ であり、$3(1)^2 - 3(1) + 1 = 3 - 3 + 1 = 1 \neq 0$ なので、$a_n$ は $n=1$ では成立しません。

(3) $S_n = 2^n - 1$ の場合

$a_1 = S_1 = 2^1 - 1 = 2 - 1 = 1$

$n \geq 2$ のとき

\begin{align*}

a_n &= S_n - S_{n-1} \\

&= (2^n - 1) - (2^{n-1} - 1) \\

&= 2^n - 1 - 2^{n-1} + 1 \\

&= 2^n - 2^{n-1} \\

&= 2^{n-1} \cdot 2 - 2^{n-1} \\

&= 2^{n-1} (2 - 1) \\

&= 2^{n-1}

\end{align*}

$a_1 = 1$ であり、$2^{1-1} = 2^0 = 1$ なので、$a_n = 2^{n-1}$ は $n=1$ でも成立します。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 4n + 3$

(2) $a_1 = 0$, $a_n = 3n^2 - 3n + 1$ ($n \geq 2$)

(3) $a_n = 2^{n-1}$