問題は (3) $\log_{\frac{1}{5}} \sqrt[5]{125}$ と (4) $\log_9 8 \cdot \log_8 3$ の2つです。

1. 問題の内容

問題は (3) $\log_{\frac{1}{5}} \sqrt[5]{125}$ と (4) $\log_9 8 \cdot \log_8 3$ の2つです。

2. 解き方の手順

(3)

まず、$\sqrt[5]{125}$ を指数を使って表します。

$\sqrt[5]{125} = (125)^{\frac{1}{5}} = (5^3)^{\frac{1}{5}} = 5^{\frac{3}{5}}$

次に、$\frac{1}{5}$ を指数を使って表します。

$\frac{1}{5} = 5^{-1}$

したがって、$\log_{\frac{1}{5}} \sqrt[5]{125} = \log_{5^{-1}} 5^{\frac{3}{5}}$

対数の性質 $\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b$ を使うと、

$\log_{5^{-1}} 5^{\frac{3}{5}} = \frac{\frac{3}{5}}{-1} \log_5 5 = -\frac{3}{5} \cdot 1 = -\frac{3}{5}$

(4)

底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ を使います。

$\log_9 8 = \frac{\log_3 8}{\log_3 9} = \frac{\log_3 8}{2}$

$\log_8 3 = \frac{\log_3 3}{\log_3 8} = \frac{1}{\log_3 8}$

したがって、

$\log_9 8 \cdot \log_8 3 = \frac{\log_3 8}{2} \cdot \frac{1}{\log_3 8} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(3) $-\frac{3}{5}$

(4) $\frac{1}{2}$