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与えられた行列 $A$ と $B$ をそれぞれ基本変形によって単位行列にした過程が示されている。これらの変形から、$A = P_1P_2P_3$ および $B = Q_1Q_2Q_3$ を満たす基本行列 $P_1, P_2, P_3, Q_1, Q_2, Q_3$ を求める。ここで、$P_i$ および $Q_i$ は基本行列である。

代数学線形代数行列基本変形基本行列
2025/6/28

1. 問題の内容

与えられた行列 AA と BB をそれぞれ基本変形によって単位行列にした過程が示されている。これらの変形から、A=P1P2P3A = P_1P_2P_3 および B=Q1Q2Q3B = Q_1Q_2Q_3 を満たす基本行列 P1,P2,P3,Q1,Q2,Q3P_1, P_2, P_3, Q_1, Q_2, Q_3 を求める。ここで、PiP_i および QiQ_i は基本行列である。

2. 解き方の手順

行列 AA の変形過程から P1,P2,P3P_1, P_2, P_3 を求める。
* 最初の変形：
A=[−309001010]→[−309010001]A = \begin{bmatrix} -3 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} -3 & 0 & 9 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
これは2行目と3行目を入れ替える操作に対応する。この操作を行う基本行列は、単位行列の2行目と3行目を入れ替えたものなので、
P1=[100001010]P_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}
* 次の変形：
[−309010001]→[10−3010001]\begin{bmatrix} -3 & 0 & 9 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
これは1行目を-1/3倍する操作に対応する。この操作を行う基本行列は、単位行列の1行目を-1/3倍したものなので、
P2=[−1/300010001]P_2 = \begin{bmatrix} -1/3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
* 最後の変形：
[10−3010001]→[100010001]\begin{bmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
これは1行目に3行目の3倍を加える操作に対応する。この操作を行う基本行列は、単位行列の1行目に3行目の3倍を加えたものなので、
P3=[103010001]P_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
したがって、A=P1P2P3A = P_1P_2P_3 を変形すると I=P3−1P2−1P1−1AI = P_3^{-1}P_2^{-1}P_1^{-1}A となる。与えられた変形は、P3−1P2−1P1−1P_3^{-1}P_2^{-1}P_1^{-1} を左からかける操作に対応している。したがって、A=P1P2P3A=P_1P_2P_3 ではなく、I=P3P2P1AI=P_3 P_2 P_1 Aが成り立つので、求める基本行列は逆順になる。つまり、P1P_1は最初の変形に対応し、P2P_2は次の変形に対応し、P3P_3は最後の変形に対応する。同様に、Q1,Q2,Q3Q_1, Q_2, Q_3を求める。
行列 BB の変形過程から Q1,Q2,Q3Q_1, Q_2, Q_3 を求める。
* 最初の変形：
B=[−420100001]→[−210100001]B = \begin{bmatrix} -4 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
これは1行目を1/2倍する操作に対応する。この操作を行う基本行列は、単位行列の1行目を1/2倍したものなので、
Q1=[1/200010001]Q_1 = \begin{bmatrix} 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
* 次の変形：
[−210100001]→[010100001]\begin{bmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
これは1行目に2行目の2倍を加える操作に対応する。この操作を行う基本行列は、単位行列の1行目に2行目の2倍を加えたものなので、
Q2=[120010001]Q_2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
* 最後の変形：
[010100001]→[100010001]\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
これは1行目と2行目を入れ替える操作に対応する。この操作を行う基本行列は、単位行列の1行目と2行目を入れ替えたものなので、
Q3=[010100001]Q_3 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
したがって、P1P_1, P2P_2, P3P_3 および Q1Q_1, Q2Q_2, Q3Q_3 は以下のようになる。
P1=[−1/300010001]P_1 = \begin{bmatrix} -1/3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, P2=[001010100]P_2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}, P3=[10−3010001]P_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
Q1=[1/200010001]Q_1 = \begin{bmatrix} 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, Q2=[120010001]Q_2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, Q3=[010100001]Q_3 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

3. 最終的な答え

P1=[−1/300010001]P_1 = \begin{bmatrix} -1/3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
P2=[001010100]P_2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}
P3=[10−3010001]P_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
Q1=[1/200010001]Q_1 = \begin{bmatrix} 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
Q2=[120010001]Q_2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
Q3=[010100001]Q_3 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

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