与えられた2変数多項式 $x^2 - xy - 6y^2 + 3x + y + 2$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた2変数多項式 $x^2 - xy - 6y^2 + 3x + y + 2$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与式を $x$ について整理します。

$x^2 + (3-y)x - (6y^2 - y - 2)$

次に、定数項 $6y^2 - y - 2$ を因数分解します。

$6y^2 - y - 2 = (2y+1)(3y-2)$

したがって、与式は

$x^2 + (3-y)x - (2y+1)(3y-2)$

と書けます。

この式を因数分解することを考えます。

$(x + Ay + B)(x + Cy + D)$ の形になると仮定すると、

$x^2 + (A+C)yx + ACy^2 + (B+D)x + (AD+BC)y + BD$

となります。

与式と比較すると、$A+C = -1$, $AC = -6$ である必要があります。

したがって、$A=2$, $C=-3$ とおくことができます。

すると、$A+C=2-3=-1$, $AC = 2 \times (-3) = -6$ となり、条件を満たします。

次に、$B+D = 3$, $AD+BC = 2D-3B = 1$, $BD=2$を満たす $B, D$ を求めます。

$BD=2$より、$B=1$, $D=2$ または $B=2$, $D=1$ のいずれかです。

$B=1, D=2$のとき、$2D - 3B = 4-3=1$ となり、条件を満たします。

$B=2, D=1$のとき、$2D - 3B = 2-6=-4$ となり、条件を満たしません。

したがって、$A=2$, $C=-3$, $B=1$, $D=2$ となり、因数分解の結果は

$(x+2y+1)(x-3y+2)$

となります。

3. 最終的な答え

$(x+2y+1)(x-3y+2)$