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与えられた式を計算する問題です。 $\frac{\sqrt{5}-3}{\sqrt{5}+1} - \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-3}$

代数学式の計算有理化根号
2025/6/28

1. 問題の内容

与えられた式を計算する問題です。
5−35+1−5+15−3\frac{\sqrt{5}-3}{\sqrt{5}+1} - \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-3}

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数を有利化します。
5−35+1=(5−3)(5−1)(5+1)(5−1)=5−5−35+35−1=8−454=2−5\frac{\sqrt{5}-3}{\sqrt{5}+1} = \frac{(\sqrt{5}-3)(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)} = \frac{5 - \sqrt{5} - 3\sqrt{5} + 3}{5 - 1} = \frac{8 - 4\sqrt{5}}{4} = 2 - \sqrt{5}
5+15−3=(5+1)(5+3)(5−3)(5+3)=5+35+5+35−9=8+45−4=−2−5\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-3} = \frac{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}+3)}{(\sqrt{5}-3)(\sqrt{5}+3)} = \frac{5 + 3\sqrt{5} + \sqrt{5} + 3}{5 - 9} = \frac{8 + 4\sqrt{5}}{-4} = -2 - \sqrt{5}
次に、これらの結果を元の式に代入して計算します。
2−5−(−2−5)=2−5+2+5=42 - \sqrt{5} - (-2 - \sqrt{5}) = 2 - \sqrt{5} + 2 + \sqrt{5} = 4

3. 最終的な答え

4

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