初項2、公差3の等差数列を、第n群にn個の数が入るように群に分ける。 (1) 第n群の最初の数をnの式で表せ。 (2) 第n群に入るすべての数の和を求めよ。

1. 問題の内容

初項2、公差3の等差数列を、第n群にn個の数が入るように群に分ける。

(1) 第n群の最初の数をnの式で表せ。

(2) 第n群に入るすべての数の和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 第n群の最初の数を求める。

まず、第n群の最初の数が、元の等差数列の何番目かを考える。

第n群の前の群、つまり第(n-1)群までの項数の合計は、1から(n-1)までの自然数の和で表せる。

よって、第(n-1)群までの項数は、

$\frac{(n-1)n}{2}$

第n群の最初の数は、元の等差数列の($\frac{(n-1)n}{2} + 1$)番目である。

元の等差数列の一般項$a_k$は、

$a_k = 2 + (k-1) \times 3 = 3k - 1$

したがって、第n群の最初の数は、

$3 (\frac{(n-1)n}{2} + 1) - 1 = \frac{3n(n-1)}{2} + 3 - 1 = \frac{3n^2 - 3n}{2} + 2 = \frac{3n^2 - 3n + 4}{2}$

(2) 第n群に入るすべての数の和を求める。

第n群にはn個の数が入るので、第n群の最後の数は、元の等差数列の($\frac{(n-1)n}{2} + n$)番目である。

第n群の最後の数は、

$3(\frac{(n-1)n}{2} + n) - 1 = \frac{3n(n-1)}{2} + 3n - 1 = \frac{3n^2 - 3n + 6n - 2}{2} = \frac{3n^2 + 3n - 2}{2}$

第n群の数の和は、等差数列の和の公式を利用する。

$S_n = \frac{n}{2}(初項 + 末項)$

第n群の和は、

$S_n = \frac{n}{2}(\frac{3n^2 - 3n + 4}{2} + \frac{3n^2 + 3n - 2}{2}) = \frac{n}{2}(\frac{6n^2 + 2}{2}) = \frac{n(3n^2 + 1)}{2} = \frac{3n^3 + n}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 第n群の最初の数: $\frac{3n^2 - 3n + 4}{2}$

(2) 第n群に入るすべての数の和: $\frac{3n^3 + n}{2}$