初項2、公差3の等差数列を、第 $n$ 群に $n$ 個の数が入るように群に分ける。 (1) 第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表す。 (2) 第 $n$ 群に入るすべての数の和を求める。

1. 問題の内容

初項2、公差3の等差数列を、第 $n$ 群に $n$ 個の数が入るように群に分ける。

(1) 第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表す。

(2) 第 $n$ 群に入るすべての数の和を求める。

2. 解き方の手順

(1) 第 $n$ 群の最初の数を求める。

各群の項数を見ると、第1群は1個、第2群は2個、第3群は3個、…、第 $n$ 群は $n$ 個となっている。

したがって、第 $n$ 群の最初の数は、初項から数えて $1 + 2 + 3 + \cdots + (n-1) + 1$ 番目の項となる。

$1 + 2 + 3 + \cdots + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}$ なので、第 $n$ 群の最初の数は、$\frac{(n-1)n}{2} + 1$ 番目の項である。

初項2、公差3の等差数列の一般項は $a_n = 2 + (n-1)3 = 3n - 1$ である。

したがって、第 $n$ 群の最初の数は、$3(\frac{(n-1)n}{2} + 1) - 1 = \frac{3n(n-1)}{2} + 3 - 1 = \frac{3n^2 - 3n}{2} + 2 = \frac{3n^2 - 3n + 4}{2}$ である。

(2) 第 $n$ 群に入るすべての数の和を求める。

第 $n$ 群の最初の数は $\frac{3n^2 - 3n + 4}{2}$ であり、第 $n$ 群には $n$ 個の数が入っているので、第 $n$ 群の最後の数は、$\frac{3n^2 - 3n + 4}{2} + (n-1) \times 3 = \frac{3n^2 - 3n + 4 + 6n - 6}{2} = \frac{3n^2 + 3n - 2}{2}$ である。

したがって、第 $n$ 群に入るすべての数の和は、

$\frac{n}{2} \left( \frac{3n^2 - 3n + 4}{2} + \frac{3n^2 + 3n - 2}{2} \right) = \frac{n}{2} \left( \frac{6n^2 + 2}{2} \right) = \frac{n(3n^2 + 1)}{2} = \frac{3n^3 + n}{2}$ である。

3. 最終的な答え

(1) 第 $n$ 群の最初の数: $\frac{3n^2 - 3n + 4}{2}$

(2) 第 $n$ 群に入るすべての数の和: $\frac{3n^3 + n}{2}$